M029 · 行星与差动传动

行星齿轮与锥齿轮差速器

行星齿轮组换一个部件固定，其余部件的转法为什么就变了？ 因为太阳轮、齿圈和行星架之间只有一条转速关系，固定哪一个，就决定剩下两个怎样互相带动。站在行星架上看，行星轮轴不动，太阳轮和齿圈像普通齿轮一样反向转。固定齿圈，行星架跟着太阳轮同向慢转；固定行星架，齿圈反转；固定太阳轮，就由齿圈带动行星架。

更换行星机构的固定件、叠加两路输入，或打开锥齿轮差速器。看行星轮同时自转和公转，再看两侧半轴为什么转速不同，理想扭矩却相等。

驱动转速 $30\,\mathrm{rpm}$

末级输出转速 $43.5\,\mathrm{rpm}$

左半轴转速 $16.5\,\mathrm{rpm}$

输出端外部负载扭矩 $-0.5\,\mathrm{N\,m}$

搭一套变速箱

转动一根轴，看整套机构怎样动。

驱动转速

n_{\mathrm{in}}

30\,\mathrm{rpm}

施加的驱动扭矩

T_{\mathrm{in}}

1\,\mathrm{N\,m}

驱动轴起始相位

\phi_0

0.55\,\mathrm{rad}

齿圈输入转速

n_r

0\,\mathrm{rpm}

左半轴／壳体转速比

n_L/n_c

0.55

平行轴统一朝正面取正，从正面看逆时针为正。长度采用统一毫米比例，模数二毫米。白点固定在齿轮材料上。动画按设定的稳态转速播放，真实一秒对应模型一秒。

扭矩指外界施加给整套传动的扭矩，正功率表示流入。固定件和定轴轴承提供所需支撑扭矩；第二输入也可能吸收功率。转速本身不能确定动态负载，这里另设驱动扭矩，求与转速相容的准静态载荷。

搭建器支持最多三级串联，中间同轴轮刚性键接。混合传动中的行星级固定齿圈；单独行星机构还可固定太阳轮、固定行星架或双输入。锥齿轮差速器位于末端，左半轴转速由外部路面或伺服条件给定。理想开放式差速器的两侧扭矩相等。

直齿齿侧采用采样的二十度渐开线；锥齿轮在相交节锥上绘制示意径向齿面，齿面带宽取锥距的百分之二十七。齿根、轴、轴承和支撑为示意。模型不含惯性、离合器切换、齿隙、摩擦、齿面受力、弹性变形、强度、温升与限滑作用。反求设计只在列出的有限齿数中搜索，不作制造认证。

模型假设

刚性、无损耗、给定转速的准静态传动。直齿齿侧为采样渐开线，锥齿齿面与支撑为示意；不计算惯性、摩擦、强度或离合器切换。

先抓重点

核心问题: 两侧半轴转速不同，为什么扭矩仍能相等？
一句话直觉: 先减去壳体的转动。相对壳体看，两只相同的半轴齿轮等速反转。

核心数学模型

一次啮合与复合传动

N_a n_a+N_b n_b=0,\qquad \frac{n_o}{n_{\mathrm{in}}}=\prod_j r_j

默认两级各减速三倍，两次反向后输出同向，转速为输入的九分之一。中间两只齿轮由一根刚性键接轴连接。

行星机构的几何与运动

N_r=N_s+2N_p,\qquad N_s(n_s-n_c)+N_r(n_r-n_c)=0

齿圈包住三个等间距行星轮。减去行星架转速后，行星轴在这个参考系中固定下来；给出两根轴的转速，就能确定第三根。

锥齿轮差速器

n_L+n_R=2n_c,\qquad T_L=T_R=-\frac{T_c}{2}

两侧半轴齿轮齿数相同。扭矩的正负指外界施加给机构的作用；正向壳体驱动与两侧负载扭矩平衡，即使一侧停住也成立。

功率随转速分配

P_j=T_j\frac{2\pi n_j}{60},\qquad \sum_jP_j=0,\qquad \frac{P_L}{-P_c}=\frac{n_L}{2n_c}

最后一式假定壳体输入、两侧理想扭矩相等且壳体功率非零。两侧都输出时，它表示分给左半轴的输入功率份额；半轴反转时，也可能向机构送入功率。

相交的参考节锥

r_s=\frac{mN_s}{2},\quad r_p=\frac{mN_p}{2},\quad \tan\delta_s=\frac{N_s}{N_p},\quad \delta_s+\delta_p=\frac{\pi}{2}

两根锥齿轴在共同锥顶相交。图中的径向齿面为示意，理想滚动关系由这些参考节锥给出。模数为二毫米。

常见难点

等扭矩不等于等功率

容易误解开放式差速器总把功率平分。

正确理解理想差速器两侧扭矩相等，但功率还要乘转速。一侧半轴停住时，承受扭矩却不取走功率，另一侧可以带走全部壳体输入功率。

键接轴与惰轮不同

容易误解所有中间齿轮的齿数都会约掉。

正确理解单个惰轮的齿数在前后两次啮合中相消；同轴键接的两只不同齿轮却引入两个不同齿数，它们会改变总速比。

图中载荷不决定加速度

容易误解驱动扭矩加大，动画就该加速。

正确理解这里先设定稳态转速，再求相容的准静态负载。计算变速过程还需要轴系惯性、电机与负载的动态模型。

动手实验

01
先看默认状态
先观察两侧半轴齿轮，再选固定齿圈，看行星轮一边自转一边公转。
你会看到： 固定齿圈得到减速；固定行星架让齿圈反转；太阳轮与齿圈同速时，整个机构一起转。
02
打开差速器
选择两侧半轴预设，把左半轴转速先调到零，再调成壳体转速，观察蓝、绿两侧齿轮。
你会看到： 左侧停住时，右侧以壳体的两倍转速转动。两侧同速时，小锥齿轮相对壳体不再自转，整个壳体仍在转。
03
按目标反求齿数
展开设计任务，选一个目标，把整数齿数解装到场景里，再检查逐级传动和功率端口。
你会看到： 答案直接成为搭建器的配置。功率分配题还规定左半轴转速；有限齿数中找不到精确解时，会明确给出无解。