连杆几何 · 相似变换

缩放绘图仪

四根杆怎样把图案按比例复制？ 铰接的平行四边形让固定支点、描点头和笔尖始终共线，到支点的距离比也不变。原图每一点都按这个比例复制，形状就保留下来。倍率加倍，长度和笔尖速率都加倍，围成的面积变成四倍。

引导蓝色描点头沿圆、椭圆或花形移动，四根铰接杆让珊瑚色笔尖画出放大的同形副本。改变倍率，比较长度、速率和面积怎样变化。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

长度与速率倍率 $0$

围成面积的倍率 $0$

描点头速率 $0$

笔尖速率 $0$

杆长约束残差 $0$

相似关系误差 $0$

移动连杆

让平行四边形复制图案。

图案相位

\varphi

220.00\,{}^\circ

扫动速率

\Omega

35.00\,{}^\circ/\mathrm s

短连杆长度

L

1.40\,\mathrm m

绘图倍率

k

2.00\,

图案尺寸与杆长之比

a/L

0.20\,

向右、向上为正。机构在正面平面内运动，景深方向分开放置杆件和铰轴。控件用度，计算与 CSV 用弧度、米、秒、牛顿和焦耳。

四根杆构成平行四边形。从固定支点出发的蓝杆和连接笔尖的蓝杆一样长，杆上两个中间铰孔的位置决定倍率。铰链转动时，描点头、固定支点与笔尖始终共线。调倍率会改变长短杆的长度关系。

描点头沿一条指定闭合曲线运动。拖动蓝色手柄，可以让它沿曲线走。圆、椭圆、八字和花形预设会更换曲线。浅色输出是完整参考，亮线显示已经画过的部分。

长度和速率按绘图倍率缩放，简单闭曲线围成的面积按倍率的平方缩放。八字形的每个叶瓣也一样。这是精确的刚性连杆运动学，不计算驱动或接触力。

这里取正倍率，图案放大后不旋转、不翻转。走完一个相位区间就画完一圈。采样与 CSV 都是模型计算值。杆宽、厚度、铰轴头和笔的大小为示意；铰点间距与绘图坐标采用同一比例。

所选曲线避开平行四边形完全拉直的位置。画面用铰孔和分层杆件交代连接方式，不考虑制造公差、摩擦、惯性和弯曲。

刚性杆和无摩擦铰链给出精确的平面几何关系。描点头沿指定图案运动，不考虑受力、惯性、铰链间隙、弯曲和笔尖摩擦。改变倍率时会重新设置杆长与铰孔位置。

先抓重点

核心问题: 每段长度都放大两倍，围成的面积也只变成两倍吗？
一句话直觉: 固定支点、描点头与笔尖始终共线，距离比不变。长度按这个比缩放，围成的面积按它的平方缩放。

核心数学模型

平行四边形的构造

\mathbf D=\mathbf A+\mathbf v,\quad \mathbf B=k\mathbf A,\quad \mathbf C=\mathbf B+\mathbf v,\quad \mathbf Q=\mathbf B+k\mathbf v

固定支点为原点。两个基本向量的长度都等于短杆长；按相同倍率延伸，描点头与笔尖就和原点共线。

长度、速度与面积的倍率

\mathbf Q=k\mathbf D,\qquad \dot{\mathbf Q}=k\dot{\mathbf D},\qquad A_Q=k^2 A_D

面积关系用于简单闭曲线的内部，或分别用于每个叶瓣。每次绘图中倍率为固定正数。

常见难点

铰孔位置必须配合

容易误解随便四根杆接成平行四边形，就能按任意倍率复制。

正确理解两根长杆、中间铰孔位置和两根短杆必须配套。倍率控件会同时改变这些几何关系。

面积比长度增长得快

容易误解半径加倍，圆面积也只加倍。

正确理解横竖两个方向都放大两倍，每一小块面积就变成四倍，整个简单闭合图形的面积也变成四倍。

动手实验

01
描一个圆
选择圆，沿轨迹拖动蓝色描点头。
你会看到： 珊瑚色笔尖沿更大的圆移动，三个点始终位于从固定支点出发的同一条射线上。
02
换整幅图案
保持倍率，试试椭圆、八字形和五瓣花。
你会看到： 同一套连杆复制每一个转弯。换图案不会改变长度比或速率比。
03
比较长度与面积
选圆，把绘图倍率从二改成三。
你会看到： 副本半径变成原来的三倍，面积变成九倍；笔尖速率也是描点头的三倍。

来源：US Army Engineer School · Engineering Drawing II, §6 · He et al. · Scissor lift virtual work · MIT · Mechanical advantage