空间机构 · 平行错位

十字滑块联轴器

两根轴错开时，中间盘一边滑动，两轴还能始终等速吗？ 能。中间盘两面各开一道槽，两道槽互相垂直，两根轴的凸榫各卡进一道。盘转过的角度和两根轴完全一样，输出转速时时等于输入转速。错位靠滑动吸收：盘心每转一圈沿一个小圆绕两周，这个圆正好穿过两根轴的轴心。

把两根轴心错开的平行轴连起来。展开看看两侧互相垂直的榫和槽，跟着浮动的中间盘绕圈走，比较恒定的输出转速和不断变化的滑动速度。

输出转角 $0$

输出与输入转速比 $0$

盘心速度 $0$

盘心加速度 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

滑动约束残差 $0$

准静态功率残差 $0$

转动与比较

观察两轴之间发生了什么。

输入相位

\theta

35.00\,{}^\circ

指定输入转速

\omega

60.00\,{}^\circ/\mathrm s

平行轴心偏移

e

0.22\,\mathrm m

有符号输出外力矩

\tau_o

-1.00\,\mathrm{N\,m}

蓝色是输入，珊瑚色是输出，金色是连接件。世界坐标轴分别指向右、上和你。输入轴指向右，正转方向按右手定则。要调相位，可以拖动端面图里的金色标记，也可以用键盘操作相位滑块。

输出轴和输入轴平行，向上错开一段。两根轴和中间盘转过的角度相同，盘两侧的榫和槽方向互相垂直。盘心正好落在两条滑动方向的交点上。输入转一圈，盘心沿小圆走两圈。

“展开配合面”是方便检查的爆炸视图。轴毂分开只是为了看清楚，这时画面上的配合面并不接合。模型、曲线和读数描述的仍是装配好的理想联轴器。偏移量和画面上的间隙都不代表安全工作极限。

输入转速是给定的。模型刚性、无质量、无摩擦，所需输入力矩和输出端的恒定外力矩平衡，外力矩可正可负。这个力矩由虚功率算出，不能用来选电机。外载荷可以输入功率，也可以吸收功率；滑动副不损耗能量。

播放让输入转一圈后停下，重播会重置相位。长度用米，滑块角度用度。CSV 含七百二十一个运动学采样，每半度一个，角度用弧度，速率用国际单位。零件厚度、轴承和支撑都是示意，不求解碰撞、受力、疲劳或磨损。

两轴理想平行，两个互相垂直的滑动副没有摩擦。图中的偏移量和零件尺寸只是示意，不是厂家额定值。这里不考虑角度不对中、磨损、接触力、惯性和间隙。

先抓重点

核心问题: 轴心错位时，中间盘怎样让两轴等速？
一句话直觉: 两个互相垂直的滑动副吃掉了侧向错位，输出转过的角度和输入完全一样。

核心数学模型

两个互相垂直的滑动约束

\mathbf u=(\cos\theta,\sin\theta),\quad\mathbf v=(-\sin\theta,\cos\theta),\quad\mathbf C=e\cos\theta\,\mathbf u=(e,0)+e\sin\theta\,\mathbf v

坐标取在横截面内，两个方向分别是向上和景深方向，原点在输入轴心。

盘心每圈绕两周

\mathbf C=\left(\frac e2(1+\cos2\theta),\frac e2\sin2\theta\right),\quad |\dot{\mathbf C}|=e\omega,\quad|\ddot{\mathbf C}|=2e\omega^2

盘心轨迹的半径是轴心偏移的一半；绕圈的是盘心，两根轴都没有离开自己的轴线。

传动比恒定，滑速变化

\phi=\theta,\quad\frac{\dot\phi}{\omega}=1,\quad\dot s_1=-e\omega\sin\theta,\quad\dot s_2=e\omega\cos\theta

每段滑动位移都从对应的轴心量起，沿各自的槽方向，带正负号。

无质量零件的功率平衡

\tau_{\rm in}=-\tau_o\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm d\theta},\qquad\tau_{\rm in}\omega+\tau_o\dot\phi=0

这里不计摩擦损失，也不计惯性功率。

常见难点

圈数相同，不等于转速相同

容易误解输入转一圈、输出也转一圈，输出就一定匀速。

正确理解万向节的瞬时传动比时刻在变；平行轴之间的理想十字滑块联轴器，传动比保持不变。

运动学与动力学

容易误解动画转得顺，轴承载荷和磨损就没问题。

正确理解这里输入运动是给定的，连接件没有质量、没有摩擦。惯性、真实间隙和接触力要用别的模型来算。

动手实验

01
先从两轴对中开始
选择两轴对中，播放一圈。
你会看到： 两轴的相位标记始终重合，转速比保持为一。
02
跟随浮动盘心
增大偏移，对比两个滑动配合面的滑速曲线。
你会看到： 输入转一圈，盘心绕两周。两个滑速错开四分之一周期，两轴转速始终相等。
03
看功率怎样传递
把输出外力矩反号，导出一个周期。
你会看到： 力矩和功率变号，运动却不变，因为它是给定的。

理论与装置：Carnegie Mellon · Universal Joint · Ruland · Oldham Coupling