M036 · 有限弹性接触

牛顿摆与接触时间

牛顿摆总是严格地一球进、一球出吗？ 质量相同、接触近似弹性时，一球入射会让末球带走大部分能量，但不是严格的一球进、一球出。多处接触会同时压缩，其余球仍有小幅运动；质量不等、间隙和耗散都会改变出球方式。

把牛顿摆的碰撞放慢，观察多对球怎样同时受压。分别改变球的质量，再试间隙、刚度和耗散，看“一球进、一球出”何时开始走样。

当前最大接触力 $82.2\,\mathrm{N}$

当前受压接触数 $4$

第一对脉冲半高宽 $0.474\,\mathrm{ms}$

末球最大摆角 $24.7\,\mathrm{{}^{\circ}}$

模型假设

每个球的质量集中在球心，由无质量刚性导杆限制在竖直平面内运动；导杆可拉也可推。不考虑球的自旋、导杆及支架碰撞、空气阻力和塑性形变。所有球对都计算只推不拉的赫兹接触。球的半径相同，有效质量可独立改变，可理解为理想化包覆球或配重球；有效模量已包含两侧表面的柔度。可选的截断 Hunt–Crossley 耗散保证接触力不变成拉力，其系数单位是秒每米，并非经过标定的恢复系数。微小重叠表示压陷，不是刚性实体互相穿透；压陷达到半径的百分之五便停止记录。发光接触斑透视标注赫兹接触面积。重力和固定支点会改变总动量，理想导杆不做功；机械能与累计耗散之和用于检验积分。回放循环展示同一次首次碰撞及随后摆动，接触阶段额外慢放，不模拟长期同步过程。

先抓重点

核心问题: 牛顿摆总是严格地一球进、一球出吗？
一句话直觉: 冲击以有宽度的力脉冲穿过多个同时存在的接触，逐次两球碰撞只是近似。

核心数学模型

两个球的弹性压陷

F_{\mathrm H}=k\delta_+^{3/2},\qquad k=\frac43E^*\sqrt{R^*},\qquad R^*=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

压陷用未变形球面的重叠量表示。分开后，正部运算让接触力归零；有效模量已经计入两侧表面。

摆球同时受各处接触力

m_iL^2\ddot\theta_i=\mathbf F_i^{\mathrm{contact}}\cdot\frac{\partial\mathbf r_i}{\partial\theta_i}-m_igL\sin\theta_i

每一对球的接触力都计入合力，导杆让球心沿圆运动。速度由连续受力求出。

耗散与外部支撑

F=F_{\mathrm H}\max(0,1+\alpha\dot\delta),\qquad E_{\mathrm{mech}}+Q=E_0,\qquad \Delta\mathbf P=\int\mathbf F_{\mathrm{external}}\,dt

球面相互靠近时，压陷速度为正；耗散功累计为热。重力和固定支点会交换动量，理想导杆虽然不做功，仍能改变动量。

常见难点

两个守恒式不够决定整列速度

容易误解只要守恒，就一定只能飞出一个球。

正确理解一整列有许多待定速度，接触定律和作用时间才决定具体运动。默认情况下末球得到大部分能量，其余球仍有小幅运动。

回放对应一次有限记录

容易误解每次循环都接着上次继续摆。

正确理解循环会重新播放同一次首次碰撞及随后摆动。接触阶段额外放慢，时钟显示物理时间。

动手实验

01
看清脉冲
选“一球入射”，在接触发光时暂停，对照下方各行。
你会看到： 多行接触同时亮起，第一对球的力脉冲有可测的半高宽。
02
改变出球方式
依次试“两球入射”“中间一个重球”和“球间留小间隙”；点任意摆球，修改它自己的质量。
你会看到： 出球的能量分配和接触重叠都会改变，修改后的质量保存在对应球上。
03
分清刚度与损耗
先增大“接触有效模量”，再选“接触发生耗散”。
你会看到： 弹性接触越硬，脉冲越短；耗散还会把机械能转成热，让出球摆幅降低。