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Sandbox Physics

M010 · 运动测量

运动测量与数值微分

记录模拟相机像素，用有限差分或局部拟合恢复导数，检查噪声、混叠、标定偏差与积分漂移。

交互模型运动测量与数值微分
选中时间就绪\text{就绪}
参考位置就绪\text{就绪}
参考带符号速度就绪\text{就绪}
参考带符号加速度就绪\text{就绪}
采样状态就绪\text{就绪}
采集帧数就绪\text{就绪}
已追踪帧数就绪\text{就绪}
有效导数估计数就绪\text{就绪}
原始位置均方根误差就绪\text{就绪}
速度均方根误差就绪\text{就绪}
加速度均方根误差就绪\text{就绪}
末段积分减原始位置就绪\text{就绪}
假定相机比例就绪\text{就绪}
假定原点列就绪\text{就绪}

物理教程

运动测量与数值微分

背景相机像素是采样位置，不是直接导数。

为什么值得理解记录模拟相机像素，用有限差分或局部拟合恢复导数，检查噪声、混叠、标定偏差与积分漂移。

先抓重点

核心问题
帧数越多，加速度就越准吗？
一句话直觉
只恢复采样数据与标定所支持的信息。

核心数学模型

给定合成轨迹

x(t)=xb+bt+12ct2+Asin⁡(2πft+ϕ)\begin{aligned}x(t)&=x_b+bt+\tfrac12ct^2\\&\quad+A\sin(2\pi ft+\phi)\end{aligned}

此定律生成像素与独立对照参考，不传入估计器。

仅标定记录像素

x^i=uiobs−u^0s^\widehat x_i=\frac{u_i^{\mathrm{obs}}-\widehat u_0}{\widehat s}

比例为每米像素数；原点误差偏移位置，在精确差分中抵消。

噪声进入导数

v^i=x^i+1−x^i−12ha^i=x^i+1−2x^i+x^i−1h2\begin{aligned}\widehat v_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-\widehat x_{i-1}}{2h}\\\widehat a_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-2\widehat x_i+\widehat x_{i-1}}{h^2}\end{aligned}

更小时间步可能放大同一位置误差。

局部二次重建

p(s)=b0+b1s+b2s2ej=x^i+j−p(jh)min⁡b  ∑j=−rrej2v^i=b1,a^i=2b2\begin{aligned}p(s)&=b_0+b_1s+b_2s^2\\e_j&=\widehat x_{i+j}-p(jh)\\\min_{\boldsymbol b}\;&\sum_{j=-r}^r e_j^2\\\widehat v_i&=b_1,\quad\widehat a_i=2b_2\end{aligned}

只使用完整中心窗口；更宽窗口也抑制真实快速运动。

显式偏差的累积

vˉi=12(v^i+v^i+1)x^i+1int=x^iint+(vˉi+βv)h\begin{aligned}\bar v_i&=\tfrac12(\widehat v_i+\widehat v_{i+1})\\\widehat x_{i+1}^{\mathrm{int}}&=\widehat x_i^{\mathrm{int}}+(\bar v_i+\beta_v)h\end{aligned}

已知添加偏差演示线性漂移，不是推断出的相机行为。

常见难点

模型与证据

容易误解只要帧数足够多，数值加速度就精确。

正确理解更多帧缩短时间步，可能放大导数中的像素噪声。更宽窗口压低噪声，也会抹去快速运动。帧率不高于给定正弦频率的两倍时可能混叠；高于此值本身也不保证导数准确。不声称置信区间。

动手实验

  1. 01

    先采集

    采集带噪振荡，打开原始表并导出像素。

    应该观察到： CSV 中不存在真实导数。
  2. 02

    以细节换噪声

    对比三点差分与更宽二次拟合。

    应该观察到： 噪声降低时可能丢失快速运动。
  3. 03

    寻找无法区分的样本

    尝试混叠运动与频闪静止。

    应该观察到： 稀疏帧不能唯一确定连续运动。
  4. 04

    核对标定与缺口

    改变假定比例，添加积分偏差，再尝试离开传感器。

    应该观察到： 分析设置保留原始像素，缺失帧保持缺失。