M010 · 运动测量

运动测量与数值微分

帧数越多，加速度就越准吗？ 不一定。帧挨得越近，差分越会放大位置噪声，加速度要差分两次，噪声放大得更厉害；帧隔得太远，又会漏掉运动的变化。先标定好像素，再对一段帧做局部拟合，通常比两种做法都准。

用模拟相机记录运动物体的像素位置，再用有限差分或局部拟合估计速度和加速度，看看噪声、混叠、标定偏差和积分漂移怎样影响结果。

选中时间 $\text{就绪}$

参考位置 $\text{就绪}$

参考带符号速度 $\text{就绪}$

参考带符号加速度 $\text{就绪}$

采样状态 $\text{就绪}$

采集帧数 $\text{就绪}$

已追踪帧数 $\text{就绪}$

有效导数估计数 $\text{就绪}$

原始位置均方根误差 $\text{就绪}$

速度均方根误差 $\text{就绪}$

加速度均方根误差 $\text{就绪}$

末段积分减原始位置 $\text{就绪}$

假定相机比例 $\text{就绪}$

假定原点列 $\text{就绪}$

先拍下帧，再拟合、对比

从像素中测出运动

记录时长

T

4.00\,s

轨迹偏移

x_b

0.00\,m

轨迹漂移速度

b

0.15\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

轨迹恒加速度

c

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

振荡振幅

A

1.50\,m

振荡频率

f

0.50\,Hz

初始振荡相位

\phi

0.00\,{}^\circ

帧率

f_s

30.00\,Hz

真实相机比例

s

120.00\,\frac{\mathrm{px}}{\mathrm m}

取整前像素噪声上界

\eta_u

0.50\,\mathrm{px}

整像素取整

Q

1.00\,

确定性噪声样本

r

17.00\,

假定比例误差

\epsilon_s

0.00\,\%

假定原点像素误差

\delta_u

0.00\,\mathrm{px}

导数：0 三点；1 二次拟合

d

1.00\,

二次拟合窗口帧数

n_w

9.00\,

积分时添加的速度偏差

\beta_v

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

回放比例

\tau

0.40\,

模拟目标沿一条直线运动：恒加速度加上正弦振荡。理想正交相机把它成像到 2048 列宽的传感器上，时间戳精确，曝光瞬间完成。透明面是相机的虚拟成像面，不是透镜，也不是三维数据图。本实验不上传、也不分析真实视频。

每帧记录只有帧号、时间、带噪声的水平像素，以及有没有追踪到。噪声是确定的，而且有界；打开取整到最近像素，误差最多再多半个像素。目标出了画面，这一帧就没有像素值，不会靠截断或插值补出位置。

估计只用记录下的像素和你假定的标定。三点中心差分用三帧；中心二次最小二乘拟合用你选的奇数帧窗口。两种方法都要一个完整窗口，窗口里的帧必须连续、间隔相等，所以记录两端和缺口处没有估计值。解析轨迹单独标出，只作参考。

帧越多，时间步越短，求导时像素噪声可能被放大。窗口越宽，噪声越小，但快速运动也会被抹平。帧率不超过正弦频率的两倍时，可能出现混叠；帧率高过这个值，也不能单凭这一点保证导数准确。本实验不给置信区间。

恢复出的速度用梯形法积分。每段连续的估计都从本段第一个标定后的原始位置算起，积分不会跨过缺口。可选的速度偏差是专门加进去演示漂移的。改标定、拟合设置或偏差，或者回放，都保留已采集的像素；改运动或相机，会自动重新采集一份模拟记录。

给定运动包含匀速漂移、恒加速和正弦振荡。理想正交相机按准确时刻采样水平像素；像素扰动、取整和目标越界都会影响恢复出的导数。

先抓重点

核心问题: 帧数越多，加速度就越准吗？
一句话直觉: 能恢复的，只有采样数据和标定确实支持的信息。

核心数学模型

合成轨迹

\begin{aligned}x(t)&=x_b+bt+\tfrac12ct^2\\&\quad+A\sin(2\pi ft+\phi)\end{aligned}

这条运动规律用来生成像素和一条单独的对照曲线，估计器拿不到它。

把记录的像素换算成位置

\widehat x_i=\frac{u_i^{\mathrm{obs}}-\widehat u_0}{\widehat s}

比例的单位是每米像素数。原点有误差时，所有位置平移同样的量，做差分时正好抵消。

差分里的噪声

\begin{aligned}\widehat v_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-\widehat x_{i-1}}{2h}\\\widehat a_i&=\frac{\widehat x_{i+1}-2\widehat x_i+\widehat x_{i-1}}{h^2}\end{aligned}

时间步变小，同样的位置误差在导数里可能变得更大。

局部二次拟合

\begin{aligned}p(s)&=b_0+b_1s+b_2s^2\\e_j&=\widehat x_{i+j}-p(jh)\\\min_{\boldsymbol b}\;&\sum_{j=-r}^r e_j^2\\\widehat v_i&=b_1,\quad\widehat a_i=2b_2\end{aligned}

只用以采样点为中心的完整窗口。窗口越宽，真实的快速运动也压得越厉害。

已知偏差累积成漂移

\begin{aligned}\bar v_i&=\tfrac12(\widehat v_i+\widehat v_{i+1})\\\widehat x_{i+1}^{\mathrm{int}}&=\widehat x_i^{\mathrm{int}}+(\bar v_i+\beta_v)h\end{aligned}

这个偏差是事先加进去的，用来演示漂移怎样线性增长，不是从相机行为推断出来的。

常见难点

帧数多不一定更好

容易误解只要帧数足够多，数值加速度就精确。

正确理解帧数越多，时间步越小，导数里的像素噪声可能被放大。窗口加宽能压低噪声，却也会抹掉快速运动。帧率不高于给定正弦频率的两倍时可能混叠；帧率高于这个值，也不能保证导数就准。这里不给出置信区间。

动手实验

01
先采集
采集带噪振荡，打开原始表并导出像素。
你会看到： CSV 里没有真实的导数。
02
以细节换噪声
对比三点差分与更宽二次拟合。
你会看到： 噪声小了，快速运动也可能跟着丢掉。
03
寻找无法区分的样本
尝试混叠运动与频闪静止。
你会看到： 稀疏帧不能唯一确定连续运动。
04
检查标定和缺帧
改变假定比例，添加积分偏差，再尝试离开传感器。
你会看到： 改分析设置不会动原始像素，缺失的帧也不会被补出来。

运动测量与数值微分