光学 055 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Moiré 与条纹计量

粗大的条纹怎样显示出微小位移或表面形状？ 两块相近的光栅叠在一起，会出现粗大的 Moiré 条带，它挪动的距离比引起它的微小位移大得多。测表面形状时，把条纹投到物体上，做相移后从相位读出高度。镜面不能这样测：要看它反射出的屏幕图案，根据每条光线来自屏上哪一点算出斜率，再积分成高度。

用 Moiré 拍纹放大微小的光栅位移。从采集到的相移条纹恢复漫反射曲面，看看展开在台阶处怎样出错，再由反射屏坐标积分出镜面轮廓。

拍纹尺度／带符号增益，或采集条纹周期

P_M,M_n;p_f,p_c

$0.50$

光栅行程／拍纹行程，或记录数／照明比例

d,\Delta s_n;N,\eta

$50\%$

强度透射乘积，或已知样品高度检验

T_{12};\epsilon_{\mathrm{sp}},\epsilon_{\mathrm{cf}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Moiré 与条纹计量

第一层光栅的真实周期

p_1

1.50\,\mathrm{mm}

第二层相对周期差（可正可负）

\epsilon_p

4\%

第二层的平面旋转角

\alpha

1.50^{\circ}

沿第二层条纹法线平移

d

0.25\,\mathrm{mm}

细条纹周期（重新采集）

p_f

6\,\mathrm{mm}

样品峰高（曲面形状随之改变）

h_{\max}

5\,\mathrm{mm}

投影光与竖直相机的夹角

\theta

30^{\circ}

发光屏到参考平面的真实距离

D

160\,\mathrm{mm}

把上层光栅移动零点几毫米，宽大的 Moiré 拍纹会移动得远得多。反转周期差或旋转光栅，可以改变拍纹方向。在投影模式下，光条纹在漫反射隆起上弯曲；相机采集四张细条纹和四张粗条纹，另外再采一张平面参考用于标定。数据行比较包裹相位得到的高度、空间展开的高度和粗细组合恢复的高度。切到不透明台阶：空间展开选错了条纹级次，阴影区依然缺失。在偏折测量中，发光屏映在不透光的镜面里；测得的相位先给出屏上坐标的偏移，再得到斜率，积分出高度。样品视角看真实形状，相机视角看采集到的强度，帧按钮逐步查看相移。播放只重放已采集的帧和光路标记。

几何模型理想且已标定，点采样，样品静止，强度记录是线性的。光栅为接触式正弦光栅，投影为正交投影，阴影区被掩去，镜面隆起是一维的。不考虑衍射、噪声、光学点扩散、gamma 和物体运动带来的相位误差。粗细重建只用采集到的强度；已知高度只用于明确标出的精度检查。不涉及折射率测量，也不做一般的二维偏折重建。

先抓重点

核心问题: 粗大的条纹怎样显示出微小位移或表面形状？
一句话直觉: 投影光平行且已标定、沿竖直方向收集时，高度给出 $\Delta\phi=\frac{2\pi h\tan\theta}{p_f}$ 。镜面则不同：它改变的是相机看到屏上哪一点。先恢复这个屏坐标，才能推出斜率，再积分得到高度。

核心数学模型

几何 Moiré，不是波干涉

\begin{aligned}T_j&=\tfrac12(1+\cos\varphi_j)\\T_{12}&=T_1T_2\\\mathbf f_M&=\mathbf f_1-\mathbf f_2\\P_M&=1/|\mathbf f_M|\end{aligned}

在接触极限下，两层的强度透射率相乘。原始乘积里有两个载频，还有它们的和频与差频。另一个解析拍纹面板只画常数加差频项，没有标成从采集数据中滤出的图。旋转改变第二层的空间频率矢量。80 乘 60 毫米的有限重叠区是从更大的上层光栅上裁出来的。装置中的间隙画得夸大了，衍射和视差都不考虑。

微小平移带来带符号的放大行程

\begin{aligned}p_2&=p_1(1+\epsilon_p)\\M_n&=-\frac{1}{p_2|\mathbf f_M|}\\\Delta s_n&=M_nd\end{aligned}

上层光栅沿自身法线平移，拍纹的移动沿差矢量的法线报告，所以增益带符号；周期失配反向时，这个法线方向本身也会翻转。两层光栅平行时，拍纹周期等于两个周期之积除以二者之差的绝对值。周期相等且不旋转时，拍纹周期不是有限值，法线也没有定义，模型不会随便把它截成一个巨大的数。上层光栅每移动一个周期，图案就重复一次。显示的行程沿连续的数学分支，不是从单张图测出的绝对位移。

四次独立曝光恢复相位

\begin{aligned}I_\delta&=a+b\cos(\varphi+\delta)\\S&=I_{3\pi/2}-I_{\pi/2}\\C&=I_0-I_\pi\\\varphi&=\operatorname{atan2}(S,C)\\\Delta\varphi_w&=\mathrm{wrap}(\varphi_o-\varphi_r)\end{aligned}

双参数反正切能分辨象限。相对的两次曝光相减，就去掉了背景。样品和平面参考各在细、粗两种周期下采集，一共十六张；减去参考就去掉了载频。调制度为零的像素标为缺失，不赋相位值。方法假设几何静止、每步正好四分之一圈，并且强度是线性的。

投影几何测的是高度

\begin{aligned}q&=x+h\tan\theta\\\Delta\varphi&=\frac{2\pi h\tan\theta}{p_f}\\\widehat h&=\frac{p_f\Delta\varphi}{2\pi\tan\theta}\end{aligned}

坐标和长度以毫米计，高度向上为正。入射的图案光向右下方传播；收集光先竖直向上，再由部分反射片折转。投影角从竖直方向量起。把光线反向追到图案平面，就得到移位后的坐标。在允许的参数范围内，光滑隆起不会给自己投下阴影。不透明平台在右边缘之后投下几何阴影，这一块在重建图里始终缺失。网格曲面、光线和记录的条纹都用同一个高度。

靠邻点展开，或再采一个尺度

\begin{aligned}|\Delta\varphi_{\mathrm{adj}}|&<\pi\\k&=\mathrm{round}\!\left(\frac{(p_c/p_f)\varphi_c-\varphi_f}{2\pi}\right)\\\varphi_{\mathrm{cf}}&=\varphi_f+2\pi k\end{aligned}

空间展开从已标定的平坦左边缘开始，逐点累加相邻像素的主值相位差。如果中间藏着一个看不到的大相位跳变，这个假设就失效，结果可能看着光滑却是错的。粗细法用采集到的粗相位，为每个细条纹单独选出级次，跨过台阶也行；粗周期为 512 毫米，带符号的坐标偏移必须小于半个周期。它补不了阴影造成的缺口。细周期越窄，灵敏度越高，空间展开的余量却越小。模型不模拟噪声和频率配准误差。

反射测斜率，求高度还需要边界值

\begin{aligned}\Delta x_s&=-\frac{2s(D-h)}{1-s^2}\\s&=-\tan\!\left[\tfrac12\arctan\!\frac{\Delta x_s}{D-h}\right]\\h'&=s,\quad h(-40)=0\end{aligned}

镜面是一个光滑的一维隆起，沿横向不变地延伸。把竖直的相机光线反向追踪，按真实表面法线反射，再与发光屏相交。部分反射片把向上的接收光侧向送到相机；不透明的镜面绝不让它透过。恢复出的屏偏移输入 Runge–Kutta 积分，积分只用已知的屏距和左边缘高度。预设的样品高度只用于金色对照，不参与反演。剩下的小误差来自有限采样的积分，不代表实验室精度。一般的二维斜率、未知的绝对高度和折射率场都不在模型范围内。

常见难点

形状看着合理，不等于测量正确

容易误解任何包裹的条纹相位都能还原成原来的曲面。

正确理解相位每转一圈就重复。空间连续性、额外采集的频率和标定过的几何，各自补上不同的缺失信息。没照到光的地方，数据始终缺失。和已知形状比对在模拟里有用，却不能替真实实验作证明。

动手实验

01
场景 1：Moiré 位移放大器
平移、旋转上层光栅，把原始乘积和单独标出的解析拍纹对比。
你会看到： Moiré 把运动放大了，周期歧义却还在：相差整周期的位移看起来一样。
02
场景 2：漫反射隆起／条纹投影
把漫反射隆起升高，跟着四次相移曝光一路看到恢复出的高度。
你会看到： 相机拍到的强度本身不是高度图，还需要标定过的相位和几何。
03
场景 3：不透明台阶／展开失效
切到不透明台阶，对比紫色的空间展开结果和薄荷色的粗细法结果，再看缺失的阴影区。
你会看到： 粗条纹采集能恢复台阶处的条纹级次，但没照到光的地方，数据补不回来。
04
场景 4：镜面隆起／偏折测量
在偏折测量中改变屏距和样品峰高。查看光源、样品和接收面，再把恢复出的中央轮廓和单独的对照曲线比较。
你会看到： 反射测的是方向；要积分出高度，还需要标定过的几何和边界值。