光学 055 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Moiré 与条纹计量

用 Moiré 拍纹放大微小光栅位移，从实际相移条纹恢复漫反射曲面，暴露台阶展开失效，并由反射屏坐标积分镜面轮廓。

拍纹尺度／带符号增益，或采集条纹周期

P_M,M_n;p_f,p_c

$0.50$

光栅行程／拍纹行程，或记录数／照明比例

d,\Delta s_n;N,\eta

$50\%$

强度透射乘积，或已知样品高度审计

T_{12};\epsilon_{\mathrm{sp}},\epsilon_{\mathrm{cf}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Moiré 与条纹计量

第一层光栅的真实周期

p_1

1.50\,\mathrm{mm}

第二层相对周期差（可正可负）

\epsilon_p

4\%

第二层的平面旋转角

\alpha

1.50^{\circ}

沿第二层条纹法线平移

d

0.25\,\mathrm{mm}

细条纹周期（重新采集）

p_f

6\,\mathrm{mm}

样品峰高（真实改变曲面）

h_{\max}

5\,\mathrm{mm}

投影光与竖直相机的夹角

\theta

30^{\circ}

发光屏到参考平面的真实距离

D

160\,\mathrm{mm}

让上层光栅移动零点几毫米，宽大的 Moiré 拍纹会移动得远得多。反转周期差或旋转光栅，改变拍纹方向。切到投影，光条纹在真实漫反射隆起上弯曲；相机采集四张细、四张粗条纹，并另采平面标定。数据行对比包裹相位、空间展开、粗细展开恢复的高度。切到不透明台阶：空间展开选错级次，阴影仍然缺失。偏折测量中，发光屏在不透光镜面中反射；相位先给屏坐标偏移，再得到斜率并积分高度。样品视角看真实形状，相机视角看采集强度；帧按钮逐步检查相移。播放只重放已采集帧及光路标记。

理想标定几何模型，点采样、静止样品与线性强度记录。接触正弦光栅、正交投影、阴影掩膜及一维镜面隆起。不含衍射、噪声、光学点扩散、gamma 或运动相移误差。粗细重建用采集强度，不用指定高度；已知高度只用于明确标示的审计。不宣称折射率或一般二维偏折重建。

先抓重点

核心问题: 粗大的条纹运动怎样放大并恢复微小位移或表面形状？
一句话直觉: 在标定平行投影与竖直收集轴中，高度给出 $\Delta\phi=\frac{2\pi h\tan\theta}{p_f}$ 。镜面则改变所见的屏坐标。先恢复坐标，才能推断斜率并积分高度。

核心数学模型

几何 Moiré，不是波干涉

\begin{aligned}T_j&=\tfrac12(1+\cos\varphi_j)\\T_{12}&=T_1T_2\\\mathbf f_M&=\mathbf f_1-\mathbf f_2\\P_M&=1/|\mathbf f_M|\end{aligned}

在接触极限相乘强度透射率。原始乘积包含两个载频、和频及差频。独立解析拍纹面板只展示常数加差频项，不冒充从采集数据滤出的图。旋转改变第二空间频率矢量。有限 80×60 毫米重叠区从较大上层光栅裁取。装置间隙放大，省略衍射及视差。

微小平移带来带符号的放大行程

\begin{aligned}p_2&=p_1(1+\epsilon_p)\\M_n&=-\frac{1}{p_2|\mathbf f_M|}\\\Delta s_n&=M_nd\end{aligned}

平移沿上层光栅法线，拍纹行程沿差矢量法线报告，所以增益带符号；周期差反转时，法线方向本身也改变。平行光栅拍纹周期等于两周期之积除以周期差绝对值。周期相同且未旋转时，没有有限拍纹周期或确定法线，不能任意夹成巨大数。移动一上层周期后图案重复；所示行程是连续数学分支，不是单张图的绝对位移测量。

四张独立记录恢复相位

\begin{aligned}I_\delta&=a+b\cos(\varphi+\delta)\\S&=I_{3\pi/2}-I_{\pi/2}\\C&=I_0-I_\pi\\\varphi&=\operatorname{atan2}(S,C)\\\Delta\varphi_w&=\mathrm{wrap}(\varphi_o-\varphi_r)\end{aligned}

双参数反正切保留象限。相对曝光之差去掉背景。样品与平面参考在细、粗周期分别采集，共十六张；减参考去载频。零调制度标记为缺失，绝不转换成捏造相位。假设几何静止、精确四分之一圈相移及线性强度。

投影几何测的是高度

\begin{aligned}q&=x+h\tan\theta\\\Delta\varphi&=\frac{2\pi h\tan\theta}{p_f}\\\widehat h&=\frac{p_f\Delta\varphi}{2\pi\tan\theta}\end{aligned}

坐标与长度以毫米计。高度向上为正，入射图案光向右下传播；收集先竖直，再经部分反射中继。投影角从竖直量起。把光线反向追到图案平面，即得移位坐标。允许控制范围内光滑隆起无自阴影；不透明平台在右边缘后投出几何阴影，那一区域在重建图中保持缺失。网格曲面、光路及记录条纹共用同一高度。

依赖邻点展开，或另采一个尺度

\begin{aligned}|\Delta\varphi_{\mathrm{adj}}|&<\pi\\k&=\mathrm{round}\!\left(\frac{(p_c/p_f)\varphi_c-\varphi_f}{2\pi}\right)\\\varphi_{\mathrm{cf}}&=\varphi_f+2\pi k\end{aligned}

空间展开从已标定平坦左边缘开始，累加邻点主值差。未知的大相位跳变破坏假设，可能得到视觉光滑的错误答案。粗细算法用采集粗相位独立选每个细条纹级次，包括跨台阶；粗周期为 512 毫米，带符号坐标偏移必须在半周期内。它不能修复阴影缺口。细周期变窄提高敏感度，却缩小空间展开余量。不模拟噪声及频率配准误差。

反射编码斜率，高度还需要边界

\begin{aligned}\Delta x_s&=-\frac{2s(D-h)}{1-s^2}\\s&=-\tan\!\left[\tfrac12\arctan\!\frac{\Delta x_s}{D-h}\right]\\h'&=s,\quad h(-40)=0\end{aligned}

镜面是沿横向挤出的光滑一维隆起。把竖直相机反向光线按真实表面法线反射，与发光屏相交。部分反射片将向上的接收光侧向中继，不透明镜面绝不透射它。恢复屏偏移进入 Runge–Kutta 积分，只使用已知屏距及左边缘高度；指定样品高度只进入金色独立审计，不进入反演。残余小误差是有限采样积分误差，不是实验室精度。一般二维斜率、未知绝对高度及折射率场不在范围内。

常见难点

形状看着合理，不等于测量正确

容易误解任何包裹条纹相位都能变成原始曲面。

正确理解相位具有周期性。空间连续性、额外采集频率、标定几何分别提供不同缺失信息。没有光仍是缺失。已知形状审计对模拟有用，却不是外部实验认证。

动手实验

01
场景 1：Moiré 位移放大器
平移、旋转上层光栅，对比原始乘积与独立标示的解析拍纹。
应该观察到： Moiré 放大运动，也保留周期歧义。
02
场景 2：漫反射隆起／条纹投影
升高真实漫反射隆起，沿四次相移曝光得到恢复高度。
应该观察到： 相机强度本身不是高度图，需要标定相位及几何。
03
场景 3：不透明台阶／展开失效
切到不透明台阶，对比紫色空间恢复与薄荷色粗细恢复，检查缺失阴影。
应该观察到： 粗条纹采集恢复台阶级次，不恢复未照明数据。
04
场景 4：镜面隆起／偏折测量
在偏折测量中改变屏距与真实峰高，检查光源、样品及接收正面，再对比恢复中央轮廓与独立审计。
应该观察到： 反射测方向；积分高度需要标定几何及边界。