光学 047 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Mach–Zehnder 传感器

Mach–Zehnder 干涉仪的两路输出，能分清折射率变化、吸收和偏振标记吗？ 只能分开一部分。折射率变化只是把功率从一个输出挪到另一个，两路加起来不变；吸收，以及偏振片挡掉的标记光，会让两路一起变少。把每一份功率的去向都算清楚，就能区分它们；只看条纹对比度下降，判断不了是哪种原因。

在镜面几何正确的三维 Mach–Zehnder 光学台上，光单程穿过两个样品池。观察两个互补的输出端，加入样品吸收，用 Jones 矩阵做偏振投影，再完成四步相位测量。

物理探测器功率

P_+,P_-

$0.50$

注入样品相位／扫描可见度

\phi_s,V

$50\%$

四步恢复主值折射率／整条纹歧义周期

\widehat{\Delta n}_{\mathrm{pr}},\Delta n_{\mathrm{period}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Mach–Zehnder 传感器

样品相对参考池的折射率变化

\Delta n

2.40\times10^{-6}

双池真实单程长度（两池一起伸缩）

L_c

10\,\mathrm{mm}

真空波长

\lambda_0

632.80\,\mathrm{nm}

标定额外相位偏置

\beta

90^{\circ}

样品单程功率透射率

\tau

1

样品臂偏振相对参考臂的夹角

\theta

0^{\circ}

两端检偏片：0 移除，1 插入

a

0

共同检偏方向（移除时无效）

\alpha

45^{\circ}

输入激光功率

P_{\mathrm{in}}

1\,\mathrm{mW}

改变样品折射率，一个探测器变亮，另一个就变暗。加长样品池，两个容器一起变长，同样的折射率变化会积累更多相位。试试吸收：总输出下降。正交偏振标记不吸收光，却让干涉消失；插入两片 45 度检偏片，可以用一半的通光量换回对比度。四次理想相移只能得到折射率的主值，整数条纹级次仍然未知。播放只让光路标记动起来，它们不是光子，也不会改变测量。

模式理想、单色、共线；分束器无损、平衡、不偏振；池窗经过补偿；折射率变化均匀且无色散；样品透射率是给定的。不考虑衍射、图像重建、探测噪声、绝对条纹级次、量子光子统计和延迟选择推断，也不宣称精度。器件放大显示，路径标记放慢。

物理教程

检验Mach–Zehnder 传感器的物理过程

背景Mach–Zehnder 干涉仪里，每束光只沿自己的光臂走一趟。两个样品池窗片相同、几何光程相等时，样品带来的相位是 $\phi_s=2\pi L_c\Delta n/\lambda_0$ 。样品池里是均匀的体介质，光束整个穿过它；这不是读取有效折射率的波导传感器。折射率差是直接给定的，不是由气压、温度或浓度算出来的。

为什么值得理解Mach–Zehnder 干涉仪的两路输出，能分清折射率变化、吸收和偏振标记吗？

先抓重点

核心问题: Mach–Zehnder 干涉仪的两路输出，能分清折射率变化、吸收和偏振标记吗？
一句话直觉: 相位把功率从一个输出端挪到另一个，吸收和检偏片则把功率从两个被测输出端拿走。四部分功率加起来总等于输入： $P_++P_-+P_{\mathrm{abs}}+P_{\mathrm{rej}}=P_{\mathrm{in}}$ 。只看到对比度下降，分不清是吸收、退相干还是路径测量造成的。这里的偏振效应用经典 Jones 光学计算，不模拟量子测量或非局域性。

核心数学模型

样品只走一趟，不像 Michelson 走两趟

\begin{aligned}\phi&=\beta+\phi_s\\\phi_s&=\frac{2\pi L_c\Delta n}{\lambda_0}\\\Delta n_{\mathrm{period}}&=\frac{\lambda_0}{L_c}\end{aligned}

真空波长和池长都换算成米。两个池同步伸长，空气光程始终相等。偏置来自理想的标定相位元件，不是从探测数据反推出来的。池越长，同样的折射率变化带来的相位越大，能无歧义读出的折射率范围也越小。

无损分束器叠加的是场，不是功率

\begin{aligned}B&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}\\\mathbf E_+&=\tfrac{i\sqrt{P_{\mathrm{in}}}}2(\mathbf v_r+\sqrt\tau e^{i\phi}\mathbf v_s)\\\mathbf E_-&=\tfrac{\sqrt{P_{\mathrm{in}}}}2(\mathbf v_r-\sqrt\tau e^{i\phi}\mathbf v_s)\end{aligned}

参考光在第一块分束器处透射，样品光被反射。两块折叠镜带来同样的公共相位。相位为零时，合束器的正端相长干涉，负端相消干涉。场振幅随功率透射率的平方根变化。分束器既透射又反射；两块不透明折叠镜只反射。

偏振投影与输出功率

\begin{aligned}\mathbf v_r&=A\binom10,\quad\mathbf v_s=A\binom{\cos\theta}{\sin\theta}\\R&=\|\mathbf v_r\|^2,\ S=\tau\|\mathbf v_s\|^2\\C&=\sqrt\tau\,\mathbf v_r\!\cdot\!\mathbf v_s\\P_\pm&=\tfrac14P_{\mathrm{in}}(R+S\pm2C\cos\phi)\end{aligned}

不放检偏片时，A 是恒等变换；两片都插入后，A 把光投影到它们共同的线偏振方向。标记器是理想无损半波片，快轴角取所选偏振转角的一半。投影后的重叠带正负号，所以检偏片转到负 45 度时，擦除条纹会反相。90 度标记配 45 度检偏片时，对比度恢复，但有一半功率被挡掉。所引论文在光臂里用有损偏振片，输入归一化也不同，它的八分之一因子不能直接搬到这套无损标记装置上。

功率去向与局部响应

\begin{aligned}P_{\mathrm{abs}}&=\tfrac12P_{\mathrm{in}}(1-\tau)\\P_{\mathrm{rej}}&=\tfrac12P_{\mathrm{in}}(1+\tau-R-S)\\V&=\frac{2|C|}{R+S}\\\frac{\partial(P_+-P_-)}{\partial\Delta n}&=-P_{\mathrm{in}}C\sin\phi\frac{2\pi L_c}{\lambda_0}\end{aligned}

如果没有功率到达探测器，可见度记为零。样品臂被挡住时，参考臂保留一半输入，两个输出端各得四分之一，所以哪个探测器都不会全黑。正交工作点附近响应最陡；在最亮或最暗处，强度的一阶斜率为零。透射率单独给定，本实验不给出吸收与折射率之间的色散关系，也不给出仪器的探测极限。

用四对探测数据恢复相位

\begin{aligned}\delta_j&=j\pi/2,\quad D_j=P_{+,j}-P_{-,j}\\\widehat\phi&=\operatorname{atan2}[s(D_3-D_1),s(D_0-D_2)]\\s&=\operatorname{sgn}C\\\widehat{\Delta n}_{\mathrm{pr}}&=\frac{\lambda_0}{2\pi L_c}\operatorname{wrap}_{(-\pi,\pi]}(\widehat\phi-\beta)\end{aligned}

反演只用四对模拟功率和标定过的重叠符号，每对功率对应一个已知的额外相移。没有调制就恢复不了相位，读数留空。有调制时也只能给出主值：加上所示折射率周期的任意整数倍，数据完全一样。主值分支不含端点。这些理想、无噪声的采集说明不了真实精度，也定不出绝对条纹级次。

常见难点

恢复出数字不等于获得绝对折射率

容易误解只要四步相移，无论池多长，都能知道完整折射率变化。

正确理解四步相移能消除单次强度读数的符号歧义，但定不出整数条纹级次。把池长和折射率调大，主值读数就会折返。你设的折射率是已知真值，反演不能拿它当额外信息。偏振标记互相正交、又没有检偏片时，数据里根本没有可恢复的相位调制。

动手实验

01
场景 1：补偿双池折射率传感
扫描相位偏置和样品折射率，比较两路互补输出功率和装置下方的四对采集读数。
你会看到： 两块不透明镜把两臂折向第二块分束器，两路输出都落在光电二极管的入光面上。光路中没有悬浮的诊断图。
02
场景 2：相位与吸收分离
切换到吸收预设。先挡住样品臂再恢复，在同一固定刻度上比较探测、吸收与拒绝三部分功率。
你会看到： 侧视图和样品池近景显示两个长度可调、彼此匹配的池子，以及支架上的通光孔。束宽和器件尺寸只是示意。
03
场景 3：偏振标记与擦除
设 90 度偏振标记。先在 45 度、再在负 45 度插入检偏片。两次对比度都会恢复，但条纹正负相反。
你会看到： 所有曲线都是模拟的探测功率。相位扫描是虚拟的标定扫描，不是时间记录。移动的标记只表示光路走向。