光学 047 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Mach–Zehnder 传感器

单程双池三维 Mach–Zehnder 光学台把正确镜面几何、互补双端功率、样品吸收、Jones 偏振投影与四步相位采集连接起来。

物理探测器功率

P_+,P_-

$0.50$

注入样品相位／扫描可见度

\phi_s,V

$50\%$

四步恢复主值折射率／整条纹歧义周期

\widehat{\Delta n}_{\mathrm{pr}},\Delta n_{\mathrm{period}}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Mach–Zehnder 传感器

样品相对参考池的折射率变化

\Delta n

2.40\times10^{-6}

双池真实单程长度（两池一起伸缩）

L_c

10\,\mathrm{mm}

真空波长

\lambda_0

632.80\,\mathrm{nm}

标定额外相位偏置

\beta

90^{\circ}

样品单程功率透射率

\tau

1

样品臂偏振相对参考臂的夹角

\theta

0^{\circ}

两端检偏片：0 移除，1 插入

a

0

共同检偏方向（移除时无效）

\alpha

45^{\circ}

输入激光功率

P_{\mathrm{in}}

1\,\mathrm{mW}

改变样品折射率：两个探测器一亮一暗。加长双池：两个容器真实伸长，同一折射率变化积累更大相位。试试吸收：输出总功率下降。正交偏振标记不吸收光却让干涉消失；插入两片 45 度检偏片，以一半通光量恢复对比度。四次理想相移只恢复主值折射率，不能知道整条纹级次。播放只动画示意光路标记，不表示光子或自动变化的测量。

理想单色共线模式、无损平衡非偏振分束器、补偿池窗、均匀无色散折射率变化和指定样品透射率。不含衍射、图像重建、探测噪声、精度宣称、绝对条纹级次、量子光子统计或延迟选择推断。器件放大，路径标记减速。

物理教程

审查Mach–Zehnder 传感器的物理过程

背景Mach–Zehnder 的每束光只单程通过各自光臂。池窗相同、几何光路匹配时，样品贡献 $\phi_s=2\pi L_c\Delta n/\lambda_0$ 。这是光束完全穿过均匀介质的体样品池，不是波导有效折射率传感器。折射率滑块是指定差值，不是由气压、温度或浓度计算而来。

为什么值得理解两个探测器能区分折射率变化、吸收与偏振标记吗？

先抓重点

核心问题: 两个探测器能区分折射率变化、吸收与偏振标记吗？
一句话直觉: 相位在两个输出间转移功率；吸收和检偏拒绝则把功率移出被测双端。始终检查 $P_++P_-+P_{\mathrm{abs}}+P_{\mathrm{rej}}=P_{\mathrm{in}}$ 。仅凭对比度降低不能判定吸收、退相干或路径测量。这里的偏振效应采用经典 Jones 光学，不模拟量子测量或非局域性。

核心数学模型

单程，不是 Michelson 双程

\begin{aligned}\phi&=\beta+\phi_s\\\phi_s&=\frac{2\pi L_c\Delta n}{\lambda_0}\\\Delta n_{\mathrm{period}}&=\frac{\lambda_0}{L_c}\end{aligned}

真空波长和池长转换为米。双池同步伸长，保持空气光路补偿。偏置来自理想标定相位元件，不是从探测数据独立反演的量。更长池带来更大折射率相位斜率，也缩小无歧义主值区间。

无损分束器叠加场，不是简单分配光线功率

\begin{aligned}B&=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}\\\mathbf E_+&=\tfrac{i\sqrt{P_{\mathrm{in}}}}2(\mathbf v_r+\sqrt\tau e^{i\phi}\mathbf v_s)\\\mathbf E_-&=\tfrac{\sqrt{P_{\mathrm{in}}}}2(\mathbf v_r-\sqrt\tau e^{i\phi}\mathbf v_s)\end{aligned}

参考臂在第一分束器透射，样品臂反射。两片折叠镜贡献相同公共相位。零相位时，合束器的正端相长、负端相消。场振幅按功率透射率的平方根变化。分束器同时透反射；两片不透明折叠镜只能反射。

偏振投影与输出功率

\begin{aligned}\mathbf v_r&=A\binom10,\quad\mathbf v_s=A\binom{\cos\theta}{\sin\theta}\\R&=\|\mathbf v_r\|^2,\ S=\tau\|\mathbf v_s\|^2\\C&=\sqrt\tau\,\mathbf v_r\!\cdot\!\mathbf v_s\\P_\pm&=\tfrac14P_{\mathrm{in}}(R+S\pm2C\cos\phi)\end{aligned}

移除检偏片时 A 为恒等变换；插入双片时投影到共同线偏振方向。标记器为理想无损半波片：快轴角是所选偏振转角的一半。投影重叠带符号，所以负 45 度使擦除条纹反相。90 度标记配 45 度检偏恢复对比度，却拒绝一半功率。所引论文使用有损光臂偏振片和不同输入归一化，因此不把其八分之一因子直接套到此无损标记光台。

功率账本与局部响应

\begin{aligned}P_{\mathrm{abs}}&=\tfrac12P_{\mathrm{in}}(1-\tau)\\P_{\mathrm{rej}}&=\tfrac12P_{\mathrm{in}}(1+\tau-R-S)\\V&=\frac{2|C|}{R+S}\\\frac{\partial(P_+-P_-)}{\partial\Delta n}&=-P_{\mathrm{in}}C\sin\phi\frac{2\pi L_c}{\lambda_0}\end{aligned}

若无被测功率存留，可见度记零。样品完全阻断时，参考臂保留一半输入，再分成每端四分之一：不会有一个探测器全黑。正交工作点局部最灵敏，明暗极值的一阶强度斜率为零。透射率是独立指定参数，不声称吸收—折射率色散定律或仪器检测极限。

从四对已采集探测数据恢复相位

\begin{aligned}\delta_j&=j\pi/2,\quad D_j=P_{+,j}-P_{-,j}\\\widehat\phi&=\operatorname{atan2}[s(D_3-D_1),s(D_0-D_2)]\\s&=\operatorname{sgn}C\\\widehat{\Delta n}_{\mathrm{pr}}&=\frac{\lambda_0}{2\pi L_c}\operatorname{wrap}_{(-\pi,\pi]}(\widehat\phi-\beta)\end{aligned}

反演仅使用已知额外相移下的四对模拟功率及标定重叠符号，不读取注入折射率作为答案。无调制就不能恢复相位，读数留空。即使有调制也只报告主值；加上所示折射率周期的任意整数倍，数据完全相同。主值分支排除端点。这些无噪声理想采集不能证明真实精度或绝对条纹级次。

常见难点

恢复出数字不等于获得绝对折射率

容易误解只要四步相移，无论池多长，都能知道完整折射率变化。

正确理解四步消除单强度的符号歧义，但不能确定整条纹级次。增大池长和折射率，观察主值读数折返。给定折射率是已知真值，不是反演可额外使用的证据。偏振导致无调制时连相位也无法恢复。

动手实验

01
场景 1：补偿双池折射率传感
扫描偏置与样品折射率，对比互补功率和装置下方四对采集读数。
应该观察到： 两片不透明镜把双臂折进第二分束器；两路输出终止于真实光电入光面。光路中没有悬浮诊断图。
02
场景 2：相位与吸收分离
切换吸收预设，阻断再恢复样品臂；在同一固定刻度上比较探测、吸收与拒绝功率。
应该观察到： 侧视与样品池近景显示匹配可变长度容器和通光支架。束宽与器件大小是示意。
03
场景 3：偏振标记与擦除
试试 90 度偏振标记。插入 45 度、再负 45 度检偏片；对比度恢复而条纹符号相反。
应该观察到： 所有曲线都是模拟探测功率。相位扫描是虚拟标定扫描，不是时间记录。移动标记只表示路径。