LOSCHMIDT 回声 / 相位记忆

量子时间镜

散开的波，还能完整聚回来吗？ 在理想模型里可以。中途把哈密顿量反号，波就沿原路收回，回到初始态。能不能回来，不光看密度，还看相位。掉头那一刻给上半场加半个周期的相位，密度当时一点没变，最后与初始态的重叠却可能跌到百分之一以下；加满一个周期，回声又完整了。

让波包在球场里散开，再把哈密顿量反号，让波沿原路聚回来。在折返时刻给半个球场扭转相位：那一刻密度一点没变，最后的回声却被破坏了。

模型是只有一个粒子的有限晶格，哈密顿量的符号被理想地反转。回声用两种扰动来检验：一次相干的相位印刻，以及返程中额外加的势能。它不是时间机器，也不是实验硬件；不模拟退相干，也不证明热力学不可逆性。

相干波场

与初始量子态的重叠概率

0

模型 · 对相位敏感

高度为站点概率的平方根，增益固定。金圈为初始区域。曲面是波函数诊断图，不是运动的物质薄膜。

正向展开印刻相位 · 反演反程重聚

\tau=32

01 / 完整过程

回声要把相位也一起找回来。

青线为当前方案；珊瑚虚线为同初态的完美反演。拖动金色光标查看。

$\tau=Jt/\hbar$

02 / 相位

亮度相同，态却可能不同。

色相为复相位，亮度为振幅，色标固定。色相原点任意，相对相位才有物理意义。图上方为纵坐标正向。

2\pi

03 / 空间与时间

波的演化在这里折返。

横向为从左到右的晶格列；纵向为时间，顶端 0、底端 64。颜色为模型位置边缘概率，使用固定平方根色标。

04 / 位置读出

一次制备，一个落点。

只用记录到的位置计数，再除以总试次；测量之前图是空的。金色区域固定不变；单凭位置测不出量子态的重叠。

冻结在印刻瞬间：密度没变，相位变了

两幅图都在中点，中间没有经过时间。把相位旋钮调大，只有上半部分的色相改变；这时返程的势能还没有起作用。

印刻前

印刻后瞬间

$|e^{-i\phi}\psi_j|^2=|\psi_j|^2$

从波函数中抽样

让一个个落点累积成图案。

0 / 8000

每次探测都来自一次独立的新制备，演化到选定时刻后测量。位置测量是理想的晶格格点测量，所有试次都保留。模拟种子固定，重置后结果可以复现。

金圈内的测量比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

金圈内模型概率

\text{—}

有效占据站点数

\text{—}

计数跟得上波形吗？

金柱为横向位置记录频率，青线为模型边缘概率。纵轴为线性概率；晶格列编号从 0 到 63。

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试次	$x/a$	$y/a$	金圈内

模型、单位、数值诊断与来源

H_0/J=4I-\sum_{\langle i,j\rangle}(|i\rangle\langle j|+|j\rangle\langle i|),\qquad\tau=Jt/\hbar

模型是有限的正方晶格，间距为 a，跃迁强度 J 处处相同，没有相互作用。边界外和障碍物处的站点都被移除；边界上对角元仍取四，相当于离散的 Dirichlet 硬壁。定量结论只针对这个有限晶格；要按连续系统来理解，还需要另做网格收敛检验。

\psi_j(0)=C\exp\!\left[-\frac{(x_j/a+10)^2+(y_j/a+4)^2}{25}\right]e^{0.9i[(x_j/a+10)\cos\theta+(y_j/a+4)\sin\theta]}

截断高斯波包仅在制备时归一化一次。横坐标向右、纵坐标向上；角度从横轴正向逆时针计。圆半径为 18；体育场两半圆中心横坐标为负 9 和正 9；矩形半宽 27、半高 18。障碍中心在 (4, 0)，长度均以晶格间距计。

|\psi(2T)\rangle=e^{i(H_0+\epsilon G)T/\hbar}e^{-i\phi P_+}e^{-iH_0T/\hbar}|\psi(0)\rangle

JT/\hbar=32,\quad P_+=\sum_{y_j>0}|j\rangle\langle j|,\quad G_{jj}=e^{-[(x_j/a-6)^2+(y_j/a)^2]/18}

刚过中点，先给上半部分印刻相位，再让波按新的哈密顿量演化：原哈密顿量加上势能误差，再整体取负号。画面上的中点在印刻之前，下一帧已经包含印刻。理想的符号反转是模型直接假定的，这里不讨论用什么硬件实现。高斯误差的中心在 (6, 0)，去程没有这项误差。

\epsilon=0:\quad F(2T)=1-4p_+(1-p_+)\sin^2(\phi/2)

反程势能误差为零时，印刻前的上半场概率给出最终重叠的独立精确检验。

\text{—}

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2,\qquad N_{\mathrm{eff}}=\frac{(\sum_jp_j)^2}{\sum_jp_j^2}

金圈以初始中心为圆心，半径为四。圈内的位置计数和对相位敏感的态保真度是两回事。站点概率达到 0.025 时颜色饱和；场景中的高度是概率平方根的 24 倍。时空图在横向边缘概率达到 0.2 时饱和。这些显示增益不影响演化和计数。

时间演化分成受范数限制的子步来算，不做重新归一化。模型不含环境和损耗，不外推到连续极限，也不给出混沌指数或热力学结论。抽样用固定的伪随机种子；区间只反映试次带来的不确定性。

0

Doncheski et al. (2003) · Wave packets in two-dimensional quantum billiards

Wisniacki et al. (2001) · Sensitivity to perturbations in a quantum chaotic billiard

先抓重点

核心问题: 散开的波，还能完整聚回来吗？
一句话直觉: 位置密度完全相同的两个态，相位可以不同，回声也就不同。

核心数学模型

演化同一个态

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle

所有曲面、诊断图和抽样位置都来自这一个态。

比较完整量子态

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

这个保真度由模型算出，包含相位信息；它不是起点附近探测到的比例。

常见难点

立起来的波形只是一种显示

容易误解粒子沿着一张实物曲面运动。

正确理解粒子只在二维晶格上运动。高度表示概率的平方根，显示增益固定不变。

有限模型

容易误解这些图像证明量子混沌或时间箭头。

正确理解模型是只有一个粒子的有限晶格，哈密顿量的符号被理想地反转。回声用两种扰动来检验：一次相干的相位印刻，以及返程中额外加的势能。它不是时间机器，也不是实验硬件；不模拟退相干，也不证明热力学不可逆性。

动手实验

01
比较预设
依次选择三个预设，再拖动完整时间轴。
你会看到： 理想反演能把量子态带回来；半个平面上的相位扭转会让最后的重叠变差。
02
看相位
切换相位着色，并检查球场下方的相位图。
你会看到： 颜色取决于相位约定。空间上的相位差有物理意义，整体色调没有。
03
采集位置读数
采集位置、定格实验并导出全部试次。
你会看到： 读数越多，各处出现的频率越接近模型密度，但相位信息没法全部看出来。