LOSCHMIDT 回声 / 相位记忆

量子时间镜

让波包在球场里散开，再反演哈密顿量，沿原路重聚。给半场扭转相位：那一刻密度完全没变，最后的回声却被打破。

相干波场

与初始量子态的重叠概率

0

模型 · 对相位敏感

高度为站点概率的平方根，增益固定。金圈为初始区域。曲面是波函数诊断图，不是运动的物质薄膜。

正向展开印刻相位 · 反演反程重聚

\tau=32

01 / 完整过程

回声，要连相位一起回来。

青线为当前方案；珊瑚虚线为同初态的完美反演。拖动金色光标查看。

$\tau=Jt/\hbar$

02 / 相位

同样的亮度，可以藏着不同的态。

色相为复相位，亮度为振幅，色标固定。色相原点任意，相对相位才有物理意义。图上方为纵坐标正向。

2\pi

03 / 空间与时间

波的历史，在这里折返。

横向为从左到右的晶格列；纵向为时间，顶端 0、底端 64。颜色为模型位置边缘概率，使用固定平方根色标。

04 / 位置读出

一次制备，一个落点。

仅使用记录位置计数，除以总试次；采集前为空。金色区域固定，仅凭位置不能测得量子态重叠。

冻结在印刻瞬间：密度没变，相位变了

两图都位于中点，之间没有经过时间。增大相位旋钮：只有上半场改变色相，此时反程势能尚未作用。

印刻前

印刻后瞬间

$|e^{-i\phi}\psi_j|^2=|\psi_j|^2$

从波函数中抽样

把一个个落点，累积成图案。

0 / 8000

每次读出都来自演化到选定时刻的独立新制备。理想晶格位置测量，保留全部试次。模拟种子固定，重置可复现。

金圈内记录比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

金圈内模型概率

\text{—}

有效占据站点数

\text{—}

计数，是否跟上了波形？

金柱为横向位置记录频率，青线为模型边缘概率。纵轴为线性概率；晶格列编号从 0 到 63。

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试次	$x/a$	$y/a$	金圈内

模型、单位、数值诊断与来源

H_0/J=4I-\sum_{\langle i,j\rangle}(|i\rangle\langle j|+|j\rangle\langle i|),\qquad\tau=Jt/\hbar

有限正方晶格，间距 a、均匀跃迁 J、无相互作用。移除外部和障碍站点，边界处对角元仍为四，对应离散 Dirichlet 硬壁。定量结论限于此有限晶格；连续系统解释还需要独立的网格收敛检验。

\psi_j(0)=C\exp\!\left[-\frac{(x_j/a+10)^2+(y_j/a+4)^2}{25}\right]e^{0.9i[(x_j/a+10)\cos\theta+(y_j/a+4)\sin\theta]}

截断高斯波包仅在制备时归一化一次。横坐标向右、纵坐标向上；角度从横轴正向逆时针计。圆半径为 18；体育场两半圆中心横坐标为负 9 和正 9；矩形半宽 27、半高 18。障碍中心在 (4, 0)，长度均以晶格间距计。

|\psi(2T)\rangle=e^{i(H_0+\epsilon G)T/\hbar}e^{-i\phi P_+}e^{-iH_0T/\hbar}|\psi(0)\rangle

JT/\hbar=32,\quad P_+=\sum_{y_j>0}|j\rangle\langle j|,\quad G_{jj}=e^{-[(x_j/a-6)^2+(y_j/a)^2]/18}

中点之后，先印刻上半场，再在原哈密顿量加势能误差的整体负号下演化。显示的中点位于印刻前；下一帧已包含印刻。理想符号反演是模型假定，此处不设计实现硬件。高斯误差中心在 (6, 0)，正程没有该误差。

\epsilon=0:\quad F(2T)=1-4p_+(1-p_+)\sin^2(\phi/2)

反程势能误差为零时，印刻前的上半场概率给出最终重叠的独立精确检验。

\text{—}

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2,\qquad N_{\mathrm{eff}}=\frac{(\sum_jp_j)^2}{\sum_jp_j^2}

金圈是以初始中心为圆心、半径四的区域。圈内位置计数与依赖相位的态保真度不同。颜色在站点概率 0.025 时饱和；场景高度为概率平方根的 24 倍。时空图在横向边缘概率 0.2 时色彩饱和。显示增益不改变演化或计数。

指数作用使用范数限制的子步，不重新归一化。不含环境、损耗、连续极限外推、混沌指数或热力学结论。抽样使用固定伪随机种子；区间仅反映试次不确定性。

0

Doncheski et al. (2003) · Wave packets in two-dimensional quantum billiards

Wisniacki et al. (2001) · Sensitivity to perturbations in a quantum chaotic billiard

先抓重点

核心问题: 散开的波，还能完整聚回来吗？
一句话直觉: 位置密度完全相同的态，可以有不同相位，产生不同回声。

核心数学模型

演化同一个态

|\psi(t)\rangle=e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle

所有曲面、诊断和抽样位置都来自此态。

比较完整量子态

F(t)=|\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle|^2

模型保真度包含相位；它不是起点附近的位置计数比例。

常见难点

立体波形是诊断图

容易误解粒子沿着一张物质曲面运动。

正确理解粒子限于二维晶格；高度使用固定显示增益编码概率平方根。

有限模型

容易误解这些图像证明量子混沌或时间箭头。

正确理解有限单粒子晶格模型中的理想哈密顿量符号反演。用相干相位印刻和反程势能扰动检验回声。不代表时间机器、实验硬件、退相干或热力学不可逆性的证明。

动手实验

01
先看原因
依次选择三个预设，再拖动完整时间轴。
应该观察到： 理想反演恢复量子态；半场相位扭转破坏最终重叠。
02
看相位
切换相位着色，并检查球场下方的相位图。
应该观察到： 色相依赖相位约定；空间相位差有意义，整体色相没有。
03
采集证据
采集位置、定格实验并导出全部试次。
应该观察到： 记录频率趋近模型密度，却不能揭示全部相位。