M021 · 刚体静力学

杠杆与力矩谜题

最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？ 能，只要挂在另一侧最长的力臂上。算力矩平衡时别漏了梁自身的重量；如果某个支点得往下拉而不是往上顶，这种挂法就不成立。

沿梁拖动载荷，移动铰链，找到最小配重。观察一处支座脱离，再用虚拟传感器扫描估计配重质量。

初始重力矩 $-11.8\,\mathrm{N\,m}$

最小配重 $0.667\,\mathrm{kg}$

平衡状态 $\text{转动中}$

当前转角 $-1.97\,\mathrm{{}^\circ}$

摆好负载，检验平衡

最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？

重力与支撑力每次试验固定力比例尺左侧质量

m_L

4\,\mathrm{kg}

左侧位置

x_L

-1.2\,\mathrm{m}

右侧质量

m_R

6\,\mathrm{kg}

右侧位置

x_R

1\,\mathrm{m}

配重质量

m_c

0\,\mathrm{kg}

配重位置

x_c

-1.8\,\mathrm{m}

均匀梁质量

m_b

2\,\mathrm{kg}

单支点位置

p

0\,\mathrm{m}

支撑：单支点或双支座

s

0

左支座

a

-1.2\,\mathrm{m}

右支座

b

1.2\,\mathrm{m}

当前模式传感器噪声上界

\epsilon

0\,\mathrm{N\,m}

单铰链提供支撑力，测量时另用夹具提供保持力偶。自由释放会移除夹具。两个支座只能向上推；保持水平若需要一处向下拉，那里的接触就会脱开，试验绕另一处支座转动。导向限制滑动和侧摆，只保留选定转轴。转到二十五度，理想限位吸收剩余动能；不模拟反弹及随后的接触变化。

四米梁均匀、细长，载荷是刚性连接的质点；砝码尺寸和硬件外形均为示意。最小配重问题计入梁的重量，排除当前配重。自动解保留完整精度，超过三十千克上限时禁用。传感器观测来自一组单独夹紧的模拟配置，拟合斜率估计配重质量；噪声有界，夹具模式用牛米，右支座模式用牛。同一测点的误差可重复。改变物理参数会清空观测，移动配重会保留观测。释放采用每模型秒二百四十步的固定步长 RK4，最多观察八秒。

模型假设

梁看作细梁，载荷看作点质量；砝码尺寸和支架只是示意。单铰链时，梁转到理想限位就停止。一处支座脱离后，导向把转轴保持在另一处接触。梁转到二十五度，理想限位吸收剩余动能。

先抓重点

核心问题: 最小的配重能平衡一根挂着载荷的梁吗？
一句话直觉: 在可放置的范围内，把配重放到相反一侧最远的位置，所需质量就最小。

核心数学模型

静止时，合力与合力矩都为零

\sum F_y=0,\qquad\sum\tau_p=0

逆时针取正。夹具能提供保持力偶；理想铰链提供力，松开夹具后允许梁转动。

每个载荷都有自己的力臂

\tau_g=-g\left[m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)+m_c(x_c-p)-m_b p\right]

位置从四米长的均匀梁中点量起。梁的重量作用在中点，移动铰链后，它也有了力臂。

反向力臂越长，配重越轻

m_{c,\min}=\frac{|m_L(x_L-p)+m_R(x_R-p)-m_b p|}{|x_{c,\mathrm{opt}}-p|}

先去掉当前配重，算剩余载荷和梁的力矩，再把新配重放到另一侧可到达的最远处。自动解保留完整数值精度。

两个支座怎样分担重量

R_b=Mg\frac{x_C-a}{b-a},\qquad R_a=Mg-R_b,\qquad R_a,R_b\geq0

质心在两个支座之间，它们才能都向上顶。所需反力为负，表示接触会脱开；试验随后绕仍接触的支座转动。

释放后，支撑力随加速度变化

R_x=M a_{C,x},\qquad R_y=M(g+a_{C,y}),\qquad I_p\ddot\phi=\tau_g(\phi)

梁转动时，质心有加速度，支撑力也随之改变。导向只保留一个转轴；转到二十五度，理想限位吸收剩余动能。

从扫描斜率测出配重质量

\widehat m_c=\frac1g\frac{\mathrm d\tau_{\mathrm{hold}}}{\mathrm d x_c}=\frac{b-a}{g}\frac{\mathrm dR_b}{\mathrm d x_c}

测量时先夹住梁。配重移动已知距离，保持力偶或右侧反力的改变量就与它的质量成正比。橙色观测点和拟合线，与理想参考分开显示。

常见难点

一样重，也可能不平衡

容易误解把左右质量调成一样就行。

正确理解还得看力臂。较轻的砝码放得远，也能平衡靠近铰链的重物。

铰链与夹具各做什么

容易误解梁没有动，说明两边已经平衡了。

正确理解夹具能把不平衡的梁固定住。松开夹具，才能看到重力矩是否让它转起来。

负反力表示接触脱离

容易误解算出负值，支座就会向下拉梁。

正确理解这里的支座只能向上推。需要向下拉时，梁会离开这个支座，绕另一处接触转动。

动手实验

01
先看哪边落下
让“力矩谜题”播放一会，再暂停。
你会看到： 右侧质量只大了一些，转动效果还要乘上它离铰链的距离。
02
直接移动载荷
沿梁拖动彩色砝码；也可以聚焦手柄，按方向键。
你会看到： 初始重力矩连续改变。移动铰链时，梁自身的力矩也会改变。
03
找最小配重
点“放置最小配重”，再从静止释放。
你会看到： 金色配重出现在反向最远的位置，松开的梁仍保持水平。需要的质量超过可调范围时，自动放置按钮会禁用。
04
让一处支座脱离
比较“双支座”和“支座脱离”，展开“受力、能量与诊断”。
你会看到： 前者有两个向上的反力；后者在一处需要向下拉，梁于是绕另一处转动。
05
用传感器测质量
把“配重质量”调到非零，展开“夹紧并测量配重”，扫描十九个位置。
你会看到： 夹具保持梁水平，虚拟传感器给出一组随位置变化的读数。拟合用这些读数求质量，青色曲线另作理想参考。
06
看看噪声怎样影响结果
在“几何、释放与受力显示”中调大传感器噪声，重新扫描并导出观测。
你会看到： 读数散开，拟合质量也会偏移。导出文件含位置和传感器信号，可以独立重做拟合。

核心数学模型

静止时，合力与合力矩都为零

每个载荷都有自己的力臂

反向力臂越长，配重越轻

两个支座怎样分担重量

释放后，支撑力随加速度变化

从扫描斜率测出配重质量

常见难点

一样重，也可能不平衡

铰链与夹具各做什么

负反力表示接触脱离

动手实验

先看哪边落下

直接移动载荷

找最小配重

让一处支座脱离

用传感器测质量

看看噪声怎样影响结果