滚动几何 · 内旋轮线

图西双圆与内滚绘线

两个圆能画出精确直线吗？ 能。让一个圆在半径为它两倍的固定圆内侧无滑动地滚动，轮缘上的笔就沿固定圆的一条直径来回走。圆盘自转和圆心公转一样快、方向相反，两种运动的竖直分量抵消，水平分量相加。把笔往里移，直线就展开成椭圆。

让圆盘沿固定圆环内侧滚动。移动笔位、改变半径比，看一条精确的直线怎样展开成椭圆、尖角星形和回环曲线。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

自转与公转角速度之比 $0$

接触处材料点速率 $0$

公转一圈耗时 $0$

几何约束残差 $0$

滚动与绘线

找到两个圆里藏着的直线。

公转相位

\theta

235.00\,{}^\circ

指定公转角速率

\omega

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

固定圆与滚圆半径之比

n=R/r

2.00\,

笔位距离与滚圆半径之比

k=d/r

1.00\,

固定圆半径

R

1.20\,\mathrm m

运动在一个平面内，向右、向上为正，景深方向朝向你。公转相位从右方起逆时针计正。控件用度，计算和 CSV 用弧度、米和秒。自转角相对固定的实验室坐标系计算。

蓝色是滚圆，灰色是固定圆，金色是刚性笔臂，珊瑚色标出笔尖和笔迹，薄荷色标出接触点。后方的载臂设定圆心轨道。描点头和转轴都在架高的透明平面下方。一段很短的理想垂直投影把笔迹画在算出的笔位正上方；伸出轮缘的笔臂从固定圆上方越过。

内滚时，圆盘自转和公转方向相反。固定圆半径是滚圆的两倍、笔在轮缘上时，画出精确的图西直线。直线两端是笔掉头的地方，不是普通的尖角。笔往里移得到椭圆；整数半径比再大些，得到多尖点的内摆线。

接触位置沿固定圆移动，但滚圆上此刻处在接触处的那一点速度为零：圆心平移的速度和自转带来的速度正好抵消。接触图以公转前进的切向为正，画的是速度分解，不是受力图。

半径比为整数时，整台装置在圆心公转一圈后回到初始状态；某些特殊笔迹会更早重复。播放走完一个区间就停。浅色的完整笔迹是理想参考，亮色笔迹是同一条算出的轨迹走到当前相位的那一段。曲线和 CSV 是解析运动学的采样，不是测量数据。

无滑动滚动和圆心轨道都是直接规定的，模型不计算维持它们需要多大的摩擦力或法向力。圆半径和笔位按同一比例画出；厚度、笔迹宽度和硬件间隙只是示意。齿形、受力、惯性、重力、打滑和接触脱离都不模拟。

圆盘被设定为在平面内无滑动地滚动，模型不计算靠什么维持这种滚动。理想光学描点器把笔尖位置投影到架高的透明平面上。受力、摩擦、电机、齿啮合、弹性和接触脱离都不在模型里。

先抓重点

核心问题: 两个圆周运动能精确抵消一个坐标吗？
一句话直觉: 固定圆半径是滚圆的两倍时，公转和自转一样快、方向相反。笔在轮缘上时，两种运动的竖直分量抵消，水平分量相加。

核心数学模型

圆心与自转

\mathbf C=(R-r)(\cos\theta,\sin\theta),\quad\phi=(1-n)\theta

半径比取正整数，内滚时至少为二。自转角相对固定坐标系计算。

笔尖轨迹方程

\mathbf P=\mathbf C+d(\cos\phi,\sin\phi),\quad d=kr,\quad n=R/r

笔尖到滚圆圆心的距离固定。开始时，无论内滚还是外滚，笔尖所在的半径都指向接触点。

图西的精确抵消

n=2,\quad\mathbf P=((r+d)\cos\theta,(r-d)\sin\theta)

笔在轮缘上时，竖直坐标恒为零；线段从原点向两侧各伸出一个固定圆半径。

无滑动时材料点的速度

\mathbf v_K=\dot{\mathbf C}+\dot\phi\,\hat{\mathbf z}\times(\mathbf K-\mathbf C)=\mathbf0,\quad\mathbf K=R(\cos\theta,\sin\theta)

接触标记沿固定圆移动，但那里的材料点在这一瞬间相对固定圆静止。

速率缩放

\mathbf v=\omega\frac{d\mathbf P}{d\theta},\quad\mathbf a=\omega^2\frac{d^2\mathbf P}{d\theta^2},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}

读数、动画时序、曲线和导出数据都来自同一套运动的解析导数。

常见难点

接触点不是轮缘上固定的一点

容易误解移动的接触标记一定和滚动表面材料同速。

正确理解轮缘上不同的点轮流到达标记处。材料的速度要看此刻接触的那一点本身怎么动，不能把接触位置移动的快慢当成材料速度。

无滑动只是这里的假设

容易误解画面证明任意速率都能靠摩擦维持接触。

正确理解这里圆心轨道和无滑动自转都是直接给定的。需要多大接触力、摩擦极限在哪里、功率和惯性怎样、会不会脱离接触，都要另建动力学模型。

动手实验

01
跟住接触点
选择接触视角，缓慢推进公转相位，查看速度分解。
你会看到： 接触位置一直往前走，但此刻贴着固定圆的那一点，速率为零。
02
把直线展开
选择图西直线，保持半径比，把笔位向内移动。
你会看到： 被抵消的竖直运动重新出现，直线变成椭圆。
03
先改形状，再改快慢
换几个整数半径比试试，再把公转角速率加倍，比较轨迹、速度和加速度。
你会看到： 只改速率，轨迹不变。速度变成两倍，加速度变成四倍，整台装置仍在公转一圈后回到初始状态。

几何来源：Robert Ferréol · Hypotrochoid · Epitrochoid