滚动几何 · 内旋轮线

图西双圆与内滚绘线

让圆盘沿固定圆环内侧滚动。移动笔位、改变半径比，看精确直线展开成椭圆、尖角星形与回环曲线。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

自转与公转角速度之比 $0$

接触处材料点速率 $0$

公转一圈耗时 $0$

几何约束残差 $0$

滚动与绘线

找到两个圆里藏着的直线。

公转相位

\theta

235.00\,{}^\circ

指定公转角速率

\omega

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

固定圆与滚圆半径之比

n=R/r

2.00\,

笔位距离与滚圆半径之比

k=d/r

1.00\,

固定圆半径

R

1.20\,\mathrm m

运动平面向右、向上为正，景深朝向观察者。公转相位从向右方向逆时针计正。控制用度，计算与 CSV 用弧度、米、秒。自转角相对于固定实验室坐标计量。

蓝色为滚圆，灰色为固定圆，金色为刚性笔臂，珊瑚色标出笔尖与笔迹，薄荷色标出接触。后侧载臂指定圆心轨道。描点头与转轴均位于架高透明平面下方；短距离理想法向投影把轨迹标在求解笔位正上方，伸出轮缘的笔臂越过固定圆。

内滚时自转与公转反向。固定圆半径为滚圆两倍，且笔在轮缘时，得到精确图西直线；端点是换向点，并非普通尖角。笔位内移得到椭圆，增大整数半径比得到多尖点内摆线。

接触位置沿固定圆移动，但滚体上当时位于接触处的材料点速度为零。圆心平移与自转速度恰好抵消。接触图以公转正切向为正，表示速度分解，不是受力图。

整数半径比保证完整构型在圆心公转一圈后重复，退化笔迹可能更早重复。播放走完一次区间后停止。浅色完整笔迹为理想参考，亮色笔迹是同一求解轨迹截至当前相位的部分。曲线与 CSV 是解析运动学采样，不是测量数据。

无滑动与圆心轨道是指定约束，不计算维持它们所需摩擦或法向力。圆半径与笔位距离保持统一比例；厚度、笔迹宽度与硬件间隙为示意。不模拟齿形、受力、惯性、重力、打滑或接触脱离动力学。

指定理想平面无滑动滚动，理想光学描点器投影到架高透明平面。不求受力、摩擦、电机、齿啮合、弹性或接触脱离。

先抓重点

核心问题: 两个圆周运动能精确抵消一个坐标吗？
一句话直觉: 半径比为二时，两种角速度大小相同、方向相反。轮缘笔的竖直分量抵消，水平分量相加。

核心数学模型

圆心与自转

\mathbf C=(R-r)(\cos\theta,\sin\theta),\quad\phi=(1-n)\theta

半径比取正整数，内滚至少为二。自转在固定坐标中计量。

求解后的笔尖轨迹

\mathbf P=\mathbf C+d(\cos\phi,\sin\phi),\quad d=kr,\quad n=R/r

笔尖在滚体上偏置固定，初始半径在两种装置中都指向接触点。

图西的精确抵消

n=2,\quad\mathbf P=((r+d)\cos\theta,(r-d)\sin\theta)

笔位等于滚圆半径时，竖直坐标消失；线段在原点两侧各延伸一个固定圆半径。

无滑动材料点速度

\mathbf v_K=\dot{\mathbf C}+\dot\phi\,\hat{\mathbf z}\times(\mathbf K-\mathbf C)=\mathbf0,\quad\mathbf K=R(\cos\theta,\sin\theta)

接触标记沿轨迹移动，但此处材料点相对于固定圆瞬时静止。

速率缩放

\mathbf v=\omega\frac{d\mathbf P}{d\theta},\quad\mathbf a=\omega^2\frac{d^2\mathbf P}{d\theta^2},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}

同一运动学的解析导数生成读数、场景时序、曲线与导出。

常见难点

接触位置不是固定材料点

容易误解移动的接触标记一定和滚动表面材料同速。

正确理解不同材料点依次到达标记处。应计算刚体上当时材料点的速度，不能把接触位置序列求导当成材料速度。

此处无滑动是一项假设

容易误解画面证明任意速率都能靠摩擦维持接触。

正确理解圆心轨道与无滑动自转均为指定；接触力、摩擦极限、功率、惯性与脱离需要另建动力学模型。

动手实验

01
跟住接触点
选择接触视角，缓慢推进公转相位，查看速度分解。
应该观察到： 接触位置前进，但滚体上当时处于接触处的材料点速率为零。
02
把直线展开
选择图西直线，保持半径比，把笔位向内移动。
应该观察到： 被抵消的竖直运动重新出现，直线变成椭圆。
03
先改形状，再改时序
尝试不同整数半径比，再将指定公转角速率加倍，比较轨迹、速度与加速度。
应该观察到： 只改速率不改轨迹；速度加倍，加速度变四倍，构型仍在公转一圈后闭合。

几何来源：Robert Ferréol · Hypotrochoid · Epitrochoid