M029 · 定轴传动

齿轮传动与惰轮

转动输入轴、改变齿数，再插入惰轮。跟随渐开线齿廓，看转向与速比如何改变，以及速度怎样换成扭矩。

输入转速 $\text{Ready}$

惰轮转速 $\text{Ready}$

输出转速 $\text{Ready}$

输出／输入转速比 $\text{Ready}$

输出端外部扭矩 $\text{Ready}$

端口净功率 $\text{Ready}$

TEETH / SPEED / POWER

改变齿数，跟随传动。

输入齿数

N_1

24.00\,

惰轮齿数

N_i

36.00\,

输出齿数

N_o

48.00\,

加入惰轮

b_i

1.00\,

输入转速

n_{\mathrm{in}}

30.00\,

施加的输入扭矩

T_{\mathrm{in}}

1.00\,

正视时所有轴朝向观察者，逆时针为正。模数二毫米，参考压力角二十度；全部几何共用统一毫米比例。回放从暂停开始，每秒对应一模型秒；白点标记齿轮上的材料点。

扭矩指施加在齿轮系上的外部扭矩，不是向负载输出的扭矩。正功率流入、负功率流出；固定件可以承受反扭矩，但功率为零。扭矩是与稳态相容的准静态载荷，不会动态改变规定转速。

与直接啮合相比，惰轮改变输出转向，但自身齿数从两端速比中消去。改变惰轮大小会同时移动其轴心；静止机架承受净反扭矩。

二十度渐开线齿侧采样成网格；齿根以示意径向连接代替刀具生成圆角，轴、轴承、齿宽与行星架为示意。不积分接触力，不计算弹性、摩擦、齿隙、冲击、应力与温度，也不作制造认证。节圆接触标记是运动学参考，不是真实移动齿面接触点。

理想刚性、无损齿轮，转速由外部规定并保持稳态。渐开线齿侧，齿根连接、轴与支撑示意；不计算齿面应力、惯性与摩擦。

先抓重点

核心问题: 更大的惰轮会让输出更慢吗？
一句话直觉: 惰轮齿数在前后两次传动中相消，最终速比只取决于两端。

核心数学模型

一次外啮合

N_a n_a+N_b n_b=0,\quad r_j=\frac{mN_j}{2}

在参考接触处，两个节圆表面速度相同；两根轴固定。

有无惰轮

\frac{n_o}{n_1}=\begin{cases}-N_1/N_o&\text{direct}\\+N_1/N_o&\text{one idler}\end{cases}

改变惰轮大小会改变它自己的转速与布局，但不改变输出转速。

稳态外部扭矩

T_o=-\frac{T_1}{n_o/n_1},\quad T_{\mathrm{frame}}=-T_1-T_o

输出端施加的扭矩抵消输入功率；固定机架承受净反扭矩。速比在零转速仍有定义。

功率平衡

P_j=T_j\frac{2\pi n_j}{60},\quad P_1+P_o=0

即使机架反扭矩不为零，固定机架的功率仍为零。

常见难点

慢轴可以有更大扭矩

容易误解减速会消灭功率。

正确理解理想稳态模型中，转速下降可由扭矩增加补偿；实际损耗与瞬态惯性需要额外模型。

参考接触点不是材料点

容易误解节圆描述所有实际齿面接触。

正确理解渐开线齿面接触沿作用线移动，通常包含滑动；标出的节点只核对传动运动学。

动手实验

01
增加一个齿轮
比较直接啮合与加入惰轮，拖动时间条。
应该观察到： 输出转向改变，但两端速比的绝对值不变。
02
只改变惰轮
保持两端齿数不变，只调节惰轮齿数。
应该观察到： 惰轮轴心移动、自身转速改变，输出转速与扭矩保持不变。
03
用速度换扭矩
增加输出齿数，查看带符号的功率端口。
应该观察到： 输出减速，相容负载扭矩增大，理想输入与输出功率互相抵消。