M006 · 观察者与不变量

伽利略参考系切换器

换个观察者，哪些运动量会改变？ 每个物体的速度、动量和动能都会变，相对速度和碰撞损失的能量不变。跟着质心走的观察者看到总动量为零、总动能最小，但物体之间仍在相对运动。

分别从站台、列车、传送带和质心看同一对滑块。滑块和记录下的位置都不变，比较动量怎样变化，动能在哪个观察者那里最低。

最近有效估计窗时刻 $\text{准备就绪}$

估计横向动量 $\text{准备就绪}$

估计动能 $\text{准备就绪}$

运动状态 $\text{准备就绪}$

所选时刻 $\text{准备就绪}$

观察者横向速度 $\text{准备就绪}$

A 在所选系横向速度 $\text{准备就绪}$

A 纵向速度 $\text{准备就绪}$

B 在所选系横向速度 $\text{准备就绪}$

B 纵向速度 $\text{准备就绪}$

所选系总横向动量 $\text{准备就绪}$

总纵向动量 $\text{准备就绪}$

所选系总动能 $\text{准备就绪}$

内部动能 $\text{准备就绪}$

所选系质心动能 $\text{准备就绪}$

时钟前耗散能量 $\text{准备就绪}$

动能分解残差 $\text{准备就绪}$

参考系变换残差 $\text{准备就绪}$

原始位置帧数 $\text{准备就绪}$

可用斜率估计数 $\text{准备就绪}$

观察、采集，再换参考系

实验不变，只换观察者

A 质量

m_A

1.00\,kg

B 质量

m_B

2.00\,kg

A 初始横向速度

v_{A,0}

3.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

B 初始横向速度

v_{B,0}

1.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

记录时长

T

4.00\,s

观察者选择

S

0.00\,

列车观察者速度

U_{\mathrm{train}}

2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

传送带观察者速度

U_{\mathrm{belt}}

-1.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

自定义观察者速度

U

0.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

位置采样率

f_s

10.00\,Hz

有界位置误差

\epsilon

0.01\,m

确定性误差种子

s

23.00\,

居中斜率窗口

w

5.00\,

回放比例

\tau

0.35\,

两个理想滑块在两条分开的平行轨道上运动，彼此没有相互作用。每个滑块都保持自己的实验室速度，轨道也不会把动量从一个滑块传给另一个。本实验展示伽利略加速度不变性在加速度为零时的情形。重力和支持力在竖直方向抵消；不考虑空气阻力、推进和轨道两端。

用装置上方的按钮或观察者滑块切换参考系。开始时所有坐标原点重合，但质心不一定在原点。每个观察者都以恒定的横向速度运动。“列车”和“传送带”只是观察者的名字，不是会施力的运动表面。切换参考系只改变坐标和算出的能量，不改变物理实验本身。

两个水平坐标轴在桌面内，竖直轴朝上。金色是 A，蓝色是 B。一米在各个方向上画得一样长。绿色十字标出几何质心，不是第三个物体。速度箭头按固定比例画出。点击播放会以半速回放，也可以拖动装置下方的时间滑块。默认镜头同时跟住两个物体；装置移出屏幕或切换窗口时，播放会停下。

采集只保存实验室系里的离散位置和时间，并叠加有界的确定性误差；这些误差不代表校准过的置信区间。切换参考系、回放或调整斜率窗口，都保留同一份原始记录；改变质量、运动或传感器设置，记录就会清空。

速度由居中最小二乘斜率求出，只用完整、时间间隔相等的窗口，所以端点和缺帧处没有估计。跨过碰撞的窗口给出的是速度变化前后的平均，不是碰前或碰后的瞬时速度。估计读数取离时钟最近的有效窗口，并显示它的中心时刻。分析只读取记录的位置、已知质量和观察者速度，不读取理想碰撞时刻。窗口加宽，噪声会变小，真实的跃变也会被抹平。

原始 CSV 导出实验室系里的全部位置行；表格只预览开头和结尾各最多 80 行。重建出的动量和动能取决于给定的质量和带噪声的速度估计，要和模型参考曲线分开看。没有 WebGL 时，控件、图表和导出照样能用。

模型采用理想牛顿力学，并说清楚采集的数据能推断什么、不能推断什么。

先抓重点

核心问题: 换个观察者，哪些运动量会改变？
一句话直觉: 在看到总动量为零的观察者那里，动能最小，但两个物体仍在相对运动。

核心数学模型

同一事件，不同参考系

\begin{aligned}x_i^\prime&=x_i-Ut\\v_{x,i}^\prime&=v_{x,i}-U\end{aligned}

所有观察者都以恒定的横向速度运动；时间和纵向坐标不变。

动量随观察者改变

P_x^\prime=P_x-MU,\qquad P_y^\prime=P_y

在本实验的初始条件下，质心系里的总动量为零。

质心系里动能最低

\begin{aligned}K^\prime&=K-UP_x+\tfrac12MU^2\\&=\tfrac12M|\mathbf V_{\rm cm}-U\hat{\mathbf x}|^2+K_{\rm int}\end{aligned}

把这个公式和两个物体动能直接相加的结果比较，残差就是两者之差。

哪些量对所有观察者都一样？

\begin{aligned}\mathbf r_B^\prime-\mathbf r_A^\prime&=\mathbf r_B-\mathbf r_A\\\mathbf v_B^\prime-\mathbf v_A^\prime&=\mathbf v_B-\mathbf v_A\end{aligned}

间距和相对速度不变；本实验里两个滑块的加速度都是零。

常见难点

换观察者不会改变运动本身

容易误解切换观察者会改变碰撞，或者让动能全部消失。

正确理解同样的位置和冲量，只是换了一套坐标来描述。除非相互作用耗散能量，内部动能一直都在。

动手实验

01
预测观察者
先找到让 A 静止的观察者，再比较质心观察者。
你会看到： 让一个物体静止，一般并不能让总动量为零。
02
沿动能曲线移动
横向拖动动能曲线上的铜色手柄。
你会看到： 最低点由总质量和总动量决定，并不代表绝对静止的参考系。
03
两条独立的轨道
比较同速运动和相向运动的滑块。
你会看到： 两个滑块在各自的平行轨道上交错而过，横向位置相同也不会相撞。
04
先采集，再切换
采集位置，切换观察者，把有限窗口的估计值和参考值对比。
你会看到： 切换观察者后，实验室原始记录完全不变。

核心数学模型

同一事件，不同参考系

动量随观察者改变

质心系里动能最低

哪些量对所有观察者都一样？

常见难点

换观察者不会改变运动本身

动手实验

预测观察者

沿动能曲线移动

两条独立的轨道

先采集，再切换