M008 · 运动基底

曲率与 Frenet 轨道设计器

轨道弯得多急、走得多快，怎样共同决定法向加速度？ 法向加速度等于曲率乘以速率的平方。曲率只由路径形状决定，时序只决定经过得多快。同一个弯，速度加倍，法向加速度就变成四倍。

在空间里编辑一条三次曲线，看它的切向、法向和密切圆。再调整时长，让采样得到的法向加速度达到目标；最后从原始位置测点恢复运动。

采样峰值法向加速度 $\text{就绪}$

加倍密度峰值变化 $\text{就绪}$

采样点是否达标 $\text{就绪}$

选中时刻标架 $\text{就绪}$

选中时间 $\text{就绪}$

选中速率 $\text{就绪}$

加速度大小 $\text{就绪}$

带符号切向加速度 $\text{就绪}$

法向加速度 $\text{就绪}$

几何曲率 $\text{就绪}$

密切半径 $\text{就绪}$

采样路径长度 $\text{就绪}$

采集位置数 $\text{就绪}$

笛卡尔速度矢量均方根误差 $\text{就绪}$

笛卡尔加速度均方根误差 $\text{就绪}$

设定路径、计时和采样位置

设计曲线，检查标架

时钟调制

\epsilon_t

0.00\,

采样法向加速度目标

a_{n,\max}

2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s^2}}

编辑控制点；零至三

i

1.00\,

控制点 0 · 第一水平坐标

x_{0}

-4.00\,m

控制点 0 · 第二水平坐标

y_{0}

-2.00\,m

控制点 0 · 高度

z_{0}

0.00\,m

控制点 1 · 第一水平坐标

x_{1}

-3.00\,m

控制点 1 · 第二水平坐标

y_{1}

4.00\,m

控制点 1 · 高度

z_{1}

3.00\,m

控制点 2 · 第一水平坐标

x_{2}

3.00\,m

控制点 2 · 第二水平坐标

y_{2}

-3.00\,m

控制点 2 · 高度

z_{2}

4.00\,m

控制点 3 · 第一水平坐标

x_{3}

4.00\,m

控制点 3 · 第二水平坐标

y_{3}

2.00\,m

控制点 3 · 高度

z_{3}

0.00\,m

运动时长

T

6.00\,s

选中时间比例

t/T

0.40\,

位置采样率

f_s

20.00\,Hz

位置噪声上界

\eta

0.00\,mm

二次拟合窗口；奇数测点

n_w

5.00\,

曲线是三次 Bézier 曲线，四个控制点都能在三个坐标方向上移动。用滑块选点，或者在两个坐标视图里直接拖。轨道是给定的路径，沿轨道的运动不靠重力驱动。

曲线参数是时间经过调制后的函数，不是弧长。时长加倍，速率减半，加速度降到四分之一，几何曲率不变。时钟调制取一时，运动会在中点停一下。

速率为零时，运动 Frenet 标架没有定义。在直线段或拐点处，法向和副法向没有定义。尖点没有正则的切线。遇到这些地方，画面不补画替代标架，也不画虚构的巨大半径。

金色密切圆弧位于当地的密切平面内，半径就是真实的曲率半径。画面只显示一小段圆弧。半径超过场景尺度四倍时不再画出，但读数里仍然保留。

重定时用 801 个采样点找峰值，再用 1601 个点复查，报告峰值变了多少。结果限制在时长滑块的范围内，状态栏显示采样点上是否达到目标。这只是设计辅助，不保证采样点之间也满足，也不是乘员载荷认证。

采集只记录笛卡尔位置。时间是精确的，每个坐标带有以毫米计、有上限且可复现的噪声。导数用局部最小二乘二次拟合估计，两端用单侧窗口。估计器拿不到轨迹的运动规律。

拟合窗口取奇数个点，记录太短时自动减少点数。估计加速度至少需要三个位置。窗口越大，噪声压得越低，但在轨迹弯曲或变化快的地方会带来偏差。均方根误差只把解析轨迹当作独立对照。

长度单位是米。速度和加速度箭头用连接线抬高，方便观察，方向和显示比例不变。标记和支架只是示意。画面不会自动播放，拖动金色时钟来改变时间。改拟合窗口不影响已采集的位置；改了轨迹或传感器，就要重新采集。

运动是事先给定的，位置观测是模拟的。这里不作力学或安全认证。

先抓重点

核心问题: 哪部分加速度让路径弯曲？
一句话直觉: 改变时间安排，不会改变路径的曲率。

核心数学模型

可编辑的三次路径

\mathbf c(q)=\sum_{i=0}^3\binom3i(1-q)^{3-i}q^i\mathbf P_i

端点在曲线上，内部的点引导切线方向。连接控制点的折线不是轨道的一部分。

沿路径的时间安排

\begin{aligned}u&=t/T\\q&=u+\frac{\epsilon_t}{2\pi}\sin(2\pi u)\\\mathbf v&=\mathbf c_q\dot q\\\mathbf a&=\mathbf c_{qq}\dot q^2+\mathbf c_q\ddot q\end{aligned}

沿路径的进度只进不退；调制达到一时，运动会在某一瞬间停住。

曲率只由路径决定

\kappa=\frac{\lVert\mathbf c_q\times\mathbf c_{qq}\rVert}{\lVert\mathbf c_q\rVert^3},\qquad R=\kappa^{-1}

公式要求曲线的导数不为零。曲率为零的地方，没有有限大小的密切圆。

Frenet 标架中的加速度

\begin{aligned}\mathbf a&=a_t\mathbf T+a_n\mathbf N\\a_t&=\dot{\lVert\mathbf v\rVert}\\a_n&=\kappa\lVert\mathbf v\rVert^2\end{aligned}

让轨迹弯曲的是法向分量。这是净加速度，不是座椅载荷，也不是支持力。

不改路径，只改时长

T_{\mathrm{new}}=T\sqrt{\frac{a_{n,\mathrm{peak}}}{a_{n,\mathrm{target}}}}

峰值是采样得到的。把网格加密一倍可以作检查，但不能排除所有很窄的峰。

常见难点

平滑曲线不等于真实加速度

容易误解重建得很平滑、图线画得很密，就证明得到了真实加速度。

正确理解采样可能漏掉转弯，局部拟合会带来偏差，采样中的最大值也不能保证是连续曲线的上界。

动手实验

01
设计空间路径
选择控制点，在各坐标视图拖动并调整高度。
你会看到： 三维轨道、标架、曲率和加速度都由同一条路径决定。
02
改变时间，保留形状
将时长加倍，对比峰值，再使用重定时操作。
你会看到： 速度和加速度随时长缩放的规律不同。采样峰值会直接和目标比较。
03
看看特殊情况
对比直线、拐点、尖点及中点暂停。
你会看到： 方向没有定义的地方就不画，不会随便补一个标架。
04
从采样测出运动
采集、添加噪声、改变拟合窗口并导出原始位置。
你会看到： 拟合窗口的大小要在噪声和偏差之间取舍；靠近端点时，单侧拟合还会带来额外误差。