M008 · 运动基底

曲率与 Frenet 轨道设计器

编辑空间三次曲线，检查切向、法向及密切圆，按采样法向加速度目标调整时长，再从原始位置测点恢复运动。

采样峰值法向加速度 $\text{就绪}$

加倍密度峰值变化 $\text{就绪}$

采样目标核对 $\text{就绪}$

选中时刻标架 $\text{就绪}$

选中时间 $\text{就绪}$

选中速率 $\text{就绪}$

加速度大小 $\text{就绪}$

带符号切向加速度 $\text{就绪}$

法向加速度 $\text{就绪}$

几何曲率 $\text{就绪}$

密切半径 $\text{就绪}$

采样路径长度 $\text{就绪}$

采集位置数 $\text{就绪}$

笛卡尔速度矢量均方根误差 $\text{就绪}$

笛卡尔加速度均方根误差 $\text{就绪}$

路径 / 时钟 / 原始位置

设计曲线，检查标架

时钟调制

\epsilon_t

0.00\,

采样法向加速度目标

a_{n,\max}

2.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm{s^2}}

编辑控制点；零至三

i

1.00\,

控制点 0 · 第一水平坐标

x_{0}

-4.00\,m

控制点 0 · 第二水平坐标

y_{0}

-2.00\,m

控制点 0 · 高度

z_{0}

0.00\,m

控制点 1 · 第一水平坐标

x_{1}

-3.00\,m

控制点 1 · 第二水平坐标

y_{1}

4.00\,m

控制点 1 · 高度

z_{1}

3.00\,m

控制点 2 · 第一水平坐标

x_{2}

3.00\,m

控制点 2 · 第二水平坐标

y_{2}

-3.00\,m

控制点 2 · 高度

z_{2}

4.00\,m

控制点 3 · 第一水平坐标

x_{3}

4.00\,m

控制点 3 · 第二水平坐标

y_{3}

2.00\,m

控制点 3 · 高度

z_{3}

0.00\,m

运动时长

T

6.00\,s

选中时间比例

t/T

0.40\,

位置采样率

f_s

20.00\,Hz

位置噪声上界

\eta

0.00\,mm

二次拟合窗口；奇数测点

n_w

5.00\,

四个三次 Bézier 控制点均可编辑三个坐标。用滑块选择点，或在两个坐标视图中拖动；轨道为给定路径，不是重力驱动滑轨。

时间为调制曲线参数，不是弧长。时长加倍使速率减半、加速度降至四分之一，几何曲率不变。时钟调制为一时在中点暂停。

零速时运动 Frenet 标架未定义；直线段或拐点处法向及副法向未定义；尖点不具有正则几何切线。不绘制替代标架或虚构巨大半径。

金色密切圆弧位于实际密切平面，使用真实半径；仅显示局部弧，超过四倍场景尺度的半径省略绘制并保留读数。

重定时使用 801 测点峰值，并报告 1601 点复查变化。结果限制在时长滑块范围内，状态显示采样目标是否满足。这是设计辅助，不是连续误差界或乘员载荷认证。

采集仅记录笛卡尔位置；时间视为精确，每坐标含以毫米计的确定性有界噪声。局部最小二乘二次拟合估计导数，端点窗口单侧；估计器不接收轨迹定律。

短记录不足时使用较少测点；少于三个位置无法估计加速度。较大窗口抑制噪声，也会使弯曲或快变运动产生偏差。均方根误差只将解析轨迹作为独立对照。

几何单位为米；加速度及速度图示通过连接线上移以便观察，方向及显示增益不变。标记及支架尺寸为示意。不自动播放，可拖动金色时钟。改变拟合窗口保留采集位置；改变轨迹或传感器后需重新采集。

给定运动学及模拟位置观测；不作力学或安全认证。

先抓重点

核心问题: 哪部分加速度使路径弯曲？
一句话直觉: 改变时间不会改变几何曲率。

核心数学模型

可编辑三次路径

\mathbf c(q)=\sum_{i=0}^3\binom3i(1-q)^{3-i}q^i\mathbf P_i

端点位于曲线上，内部点引导切线；控制多边形边不属于轨道。

独立遍历时钟

\begin{aligned}u&=t/T\\q&=u+\frac{\epsilon_t}{2\pi}\sin(2\pi u)\\\mathbf v&=\mathbf c_q\dot q\\\mathbf a&=\mathbf c_{qq}\dot q^2+\mathbf c_q\ddot q\end{aligned}

时钟单调；调制达到一时出现孤立暂停。

曲率属于几何

\kappa=\frac{\lVert\mathbf c_q\times\mathbf c_{qq}\rVert}{\lVert\mathbf c_q\rVert^3},\qquad R=\kappa^{-1}

要求曲线导数非零；零曲率不具有有限密切圆。

Frenet 标架中的加速度

\begin{aligned}\mathbf a&=a_t\mathbf T+a_n\mathbf N\\a_t&=\dot{\lVert\mathbf v\rVert}\\a_n&=\kappa\lVert\mathbf v\rVert^2\end{aligned}

法向分量使轨迹弯曲；这是净加速度，不是座椅载荷或支持力。

保持路径的重定时

T_{\mathrm{new}}=T\sqrt{\frac{a_{n,\mathrm{peak}}}{a_{n,\mathrm{target}}}}

峰值来自采样；加倍网格为诊断，不能排除所有窄峰。

常见难点

模型与观测

容易误解平滑重建或密集图线证明真实加速度。

正确理解采样可能漏圈，局部拟合引入偏差，采样峰值不是认证连续界。

动手实验

01
设计空间路径
选择控制点，在各坐标视图拖动并调整高度。
应该观察到： 同一路径驱动三维轨道、标架、曲率及加速度。
02
改变时间，保留几何
将时长加倍，对比峰值并使用重定时操作。
应该观察到： 速度及加速度缩放规律不同；明确核对采样目标。
03
查看例外
对比直线、拐点、尖点及中点暂停。
应该观察到： 省略未定义方向，不填入任意标架。
04
用测量代替真值求导
采集、添加噪声、改变拟合窗口并导出原始位置。
应该观察到： 窗口大小在噪声和偏差间权衡，也包含单侧端点误差。