机构设计 · 闭环约束

四连杆机构

转动三维四连杆，改变杆长、翻转装配分支，移动连杆上的描点。找出哪些设计能连续转动，哪些会抵达几何极限。

摇杆转角 $0$

摇杆角速度 $0$

摇杆角加速度 $0$

锐角传动角 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

杆长闭合残差 $0$

准静态功率残差 $0$

搭建与转动

改变几何，跟随运动。

输入角

\theta

40.00\,{}^\circ

指定输入角速度

\dot\theta

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

曲柄长度

a

0.40\,\mathrm m

连杆长度

b

1.10\,\mathrm m

输出杆长度

c

0.85\,\mathrm m

固定支点间距

d

1.20\,\mathrm m

有向装配：负或正

b_{+}

1.00\,

沿连杆描点比例

u

0.50\,

描点法向偏移

h

0.30\,\mathrm m

有符号输出力矩

\tau_o

-1.00\,\mathrm{N\,m}

正角从向右水平轴逆时针计量；正导轨偏置向上。蓝色为输入曲柄，薄荷色为连杆，珊瑚色为输出，金色为连杆描点。在独立平面图中拖动金色曲柄销手柄；角度滑块支持键盘。

播放指定恒定输入角速度，到下一个几何极限即停，不会跨过无法装配的区域。仅满足 Grashof 不等式并不保证所选输入杆能整周旋转，固定杆与驱动杆的选择也重要。圆心重合而交点不唯一时会明确提示。

两个装配分支按输出销在“输入销指向固定支点”直线两侧的符号定义。连杆与输出杆共线时锐角传动角为零。奇异闭合处的速度、加速度与载荷传递未定义，不会悄悄限幅。

载荷是恒定的有符号外力或外力矩，不总是阻力，在部分周期可以输入能量。输入力矩在无质量、无摩擦准静态极限下平衡其虚功。这里不计算关节反力、惯性力、轴承安全或电机选型。

销中心长度及描点坐标以米计。杆宽、销直径、轴承块及分层深度为示意；物理运动为平面，销轴沿景深方向。允许杆件重叠。金色曲线是采样计算轨迹，不是实体导轨。CSV 包含七百二十一个半度采样点，缺失装配或奇异导数留空。

平面刚杆与理想转动副。精确位置几何、解析速度和加速度，以及准静态有符号载荷传递。输入转速指定；不含惯性、摩擦、碰撞或结构强度模型。

先抓重点

核心问题: 什么杆长组合能让所选输入杆转完一圈？
一句话直觉: 装配点是两个圆的交点。圆分离时刚性装配不存在；圆相切时速度约束奇异。

核心数学模型

矢量闭环

a\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}\cos\beta\\\sin\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix}

两个固定支点位于水平轴上；两个有向圆交点定义装配分支。

输入整周旋转

d+a<b+c,\qquad |d-a|>|b-c|

这两个严格不等式保证所选输入在整周内不触及圆相切。等号对应变位或极限位形，需单独处理。

有符号虚功率

\tau_{\rm in}=-\tau_o\phi'(\theta),\qquad\tau_{\rm in}\dot\theta+\tau_o\dot\phi=0

输出力矩为施加的外力矩，逆时针为正。该式要求闭合正常且杆件惯性可忽略。

常见难点

零不等于未定义

容易误解输出静止就表示求解奇异。

正确理解普通输出换向处，速度为零但求解仍可正常；闭合奇异处，微分约束不能唯一确定运动。

指定运动

容易误解动画证明这台电机能够驱动真实机构。

正确理解输入转速为指定量，不含杆件惯性、摩擦、柔性与碰撞动力学；功率平衡采用准静态近似。

动手实验

01
转动
播放，再暂停并拖动平面图中的金色曲柄销。
应该观察到： 三维杆件与全部曲线使用同一个输入角。
02
改变杆长
比较两个装配分支，再选择存在几何限位。
应该观察到： 仅绘制可行位置，无法装配时提示原因，不拉伸杆长。
03
检查极限位形
选择抵达共线极限并查看未定义导数，再导出扫描。
应该观察到： 缺失值、奇异值与有效零值明确区分。

理论与装置：Carnegie Mellon · Planar Linkages · Universidad de Almería · Four-bar mechanisms