机构设计 · 闭环约束

四连杆机构

四连杆的杆长怎样搭配，输入曲柄才能转完一整圈？ 要让曲柄转到任何角度，四根杆都能连成闭环。曲柄转一圈，曲柄销到输出支点的距离，最远是两支点间距加曲柄长，最近是两者之差；这整段范围必须落在另外两根活动杆的长度之差与之和中间。做不到，曲柄就会转到那两根杆连成一线的位置，再也过不去。

转动三维四连杆的曲柄。可以改杆长，换到另一种装配方式，也可以沿连杆移动描点。看看哪些设计能一直转下去，哪些转到某个角度就碰上几何极限。

摇杆转角 $0$

摇杆角速度 $0$

摇杆角加速度 $0$

锐角传动角 $0$

所需输入力矩 $0$

载荷有符号功率 $0$

杆长残差 $0$

准静态功率残差 $0$

搭建与转动

改变几何，看运动怎样变化

输入角

\theta

40.00\,{}^\circ

指定输入角速度

\dot\theta

45.00\,{}^\circ/\mathrm s

曲柄长度

a

0.40\,\mathrm m

连杆长度

b

1.10\,\mathrm m

输出杆长度

c

0.85\,\mathrm m

固定支点间距

d

1.20\,\mathrm m

有向装配：负或正

b_{+}

1.00\,

沿连杆描点比例

u

0.50\,

描点法向偏移

h

0.30\,\mathrm m

有符号输出力矩

\tau_o

-1.00\,\mathrm{N\,m}

角度从向右的水平轴起算，逆时针为正；导轨偏置向上为正。蓝色是输入曲柄，薄荷色是连杆，珊瑚色是输出，金色是连杆上的描点。可以在单独的平面图里拖动金色曲柄销手柄，也可以用键盘操作角度滑块。

播放时输入杆以恒定角速度转动，到下一个几何极限就停，不会跳过无法装配的区域。只满足 Grashof 不等式，并不能保证所选输入杆转得了整圈，哪根杆固定、哪根杆驱动也有关系。圆心重合、交点不唯一时，会明确提示。

以输入销指向固定支点的直线为界，输出销在哪一侧，就属于哪个装配分支。连杆和输出杆共线时，锐角传动角为零。在奇异位置，速度、加速度和载荷传递都没有定义，也不会被截断成有限值。

载荷是恒定的外力或外力矩，有正负之分。它不总是阻力，在周期的一部分里可以向机构输入能量。在无质量、无摩擦的准静态极限下，输入力矩与载荷的虚功平衡。这里不计算关节反力、惯性力和轴承安全，也不做电机选型。

销中心之间的长度和描点坐标都用米。杆宽、销径、轴承块和分开的纵深层次都是示意；真实运动在一个平面内，销轴沿纵深方向。杆件可以互相重叠。金色曲线是按采样角度算出的描点轨迹，不是实体导轨。CSV 含七百二十一个采样点，每半度一个；无法装配或导数奇异的位置留空。

刚杆在同一平面内运动，用理想转动副连接。位置按精确几何求出，速度和加速度用解析式计算。输出端的负载可正可负，按准静态传回输入端。输入转速是给定的。不考虑惯性、摩擦和碰撞，也不计算零件强度。

先抓重点

核心问题: 杆长怎么搭配，输入杆才能转完一整圈？
一句话直觉: 连杆和摇杆的铰点落在两个圆的交点上。两圆分开，刚性杆就装不上；两圆相切，速度方程变得奇异。

核心数学模型

矢量闭环

a\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}\cos\beta\\\sin\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{bmatrix}

两个固定支点都在水平轴上。两圆有两个交点，按方向区分，每个交点对应一个装配分支。

输入杆能转整圈的条件

d+a<b+c,\qquad |d-a|>|b-c|

两个严格不等式都成立时，所选输入转完一整圈，两圆也不会相切。取等号时对应变位或极限位形，要单独处理。

由虚功率求输入力矩

\tau_{\rm in}=-\tau_o\phi'(\theta),\qquad\tau_{\rm in}\dot\theta+\tau_o\dot\phi=0

输出力矩是加在输出杆上的外力矩，逆时针为正。这个关系只在远离奇异位置、杆件惯性可以忽略时成立。

常见难点

速度为零不等于奇异

容易误解输出一停下来，就说明到了奇异位置。

正确理解输出只是换向时，速度为零，解仍然正常。只有到了奇异位置，微分方程才没法唯一确定运动。

输入转速是给定的

容易误解动画能转起来，就说明这台电机带得动真实机构。

正确理解输入转速是直接给定的。模型不含杆件惯性、摩擦、柔性和碰撞，功率平衡用的是准静态近似。

动手实验

01
转动曲柄
先播放，再暂停，在平面图里拖动金色曲柄销。
你会看到： 三维杆件和所有曲线一起变化，因为它们用的是同一个输入角。
02
改变杆长
比较两个装配分支，再选择存在几何限位。
你会看到： 只画真正装得出来的位置。装不上时会给出提示，不会把杆拉长去凑。
03
看极限位形
选择抵达共线极限，看看哪些导数变得没有定义，再导出扫描。
你会看到： 缺失值和奇异值单独标出，不会和真正的零混在一起。

理论与装置：Carnegie Mellon · Planar Linkages · Universidad de Almería · Four-bar mechanisms