绘图机构 · 正交滑动

阿基米德椭圆规

跟随正交槽中的两个滑块，沿刚性画杆移动笔位。画出细长椭圆，把它变成圆，或将笔移到滑块上，让轨迹退化成直线。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

滑块铰点间距 $0$

轨迹偏心率 $0$

局部轨迹曲率 $0$

最大连杆闭合误差 $0$

移动与描线

让几何自己画出来。

方位参数

\theta

250.00\,{}^\circ

指定角速率

\omega

60.00\,{}^\circ/\mathrm s

滑块铰点间距

L

1.60\,\mathrm m

画杆上的笔位

t

0.35\,

绘图平面为水平—竖直面，向右、向上为正，景深向观察者为正。控制角度用度，内部计算和 CSV 用弧度、米、秒。

蓝色滑块水平运动，珊瑚色滑块竖直运动。笔位比例从水平滑块起算，为一时到达竖直滑块，更大时伸到外侧；金色画杆始终刚性。

笔位于中点时画圆，位于竖直滑块时椭圆退化为直线，端点速度为零，此时曲率未定义。方位变化率恒定一般不意味着画笔等速。

播放描出一个显示相位区间后停止。浅色为完整几何参考，珊瑚色为当前游标之前的相位轨迹。向后拖动是回看相位视图，并非擦除真实记录。CSV 含七百二十一个运动学采样，不是测量数据。

输入运动为指定量。模型求几何与导数，不求接触力或电机驱动。零件、笔架与间隙为示意，不求材料穿透、惯性、摩擦、反向间隙、公差或结构安全。

理想正交移动副与刚性画杆。杆件方位以指定恒定速率变化，不代表固定电机轴驱动。不含摩擦、质量、间隙、受力或驱动动力学。

先抓重点

核心问题: 画笔放在哪里，才能画圆而不是椭圆？
一句话直觉: 两个滑块提供正交正弦分量，笔位决定两个分量的振幅。

核心数学模型

两个正交滑块

\mathbf A=(L\cos\theta,0),\quad\mathbf B=(0,L\sin\theta)

两铰点间距固定，杆件方位角与递增参数角互为补角。

固定在画杆上的笔

\mathbf Q=(1-t)\mathbf A+t\mathbf B

比例从水平滑块朝竖直滑块方向量取。

椭圆半轴

a=L|1-t|,\quad b=Lt

非零半轴相等时为圆，一个半轴为零时退化为直线。

速度与加速度

\dot{\mathbf Q}=L\omega(-(1-t)\sin\theta,t\cos\theta),\quad\ddot{\mathbf Q}=-\omega^2\mathbf Q

角速率恒定且为正，画笔一般并不等速。

常见难点

参考轨迹不是测量

容易误解浅色曲线是独立实验验证。

正确理解它是完整理想模型轨迹。闭合残差与独立几何测试用于检查一致性，本实验不采集真实数据。

运动为指定量

容易误解轨迹流畅就证明真实机构能安全地以此速率驱动。

正确理解质量、摩擦、接触力、间隙与驱动动力学需要另行分析。三维零件厚度只用于说明装配。

动手实验

01
描出默认轨迹
选择绘图平面视角，播放或拖动珊瑚色手柄。
应该观察到： 两个滑块各留在槽内，画笔沿椭圆运动。
02
移动笔位
比较中点、细长椭圆与滑块点预设。
应该观察到： 中点画圆，滑块点画直线。
03
区分几何与速率
增大角速率，导出相位扫描。
应该观察到： 同一条路径走得更快，速度按角速率缩放，加速度按其平方缩放。

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