绘图机构 · 正交滑动

阿基米德椭圆规

阿基米德椭圆规上，画笔放在哪里才能画出圆？ 放在画杆正中，也就是两个滑块的中点。两个滑块各沿自己的槽来回滑，杆上的笔把这两个运动合在一起：横向摆幅等于笔到竖槽滑块的距离，竖向摆幅等于笔到横槽滑块的距离。放在正中，两个摆幅相等，椭圆就成了圆；笔放在滑块上，画出的是直线。

两个滑块在互相垂直的槽里滑动，由一根刚性画杆连着。沿画杆移动笔的位置，可以画出细长的椭圆，也可以把它变成圆；把笔放到滑块上，轨迹就退化成一条直线。

笔尖水平位置 $0$

笔尖竖直位置 $0$

笔尖速率 $0$

笔尖加速度大小 $0$

滑块铰点间距 $0$

轨迹偏心率 $0$

局部轨迹曲率 $0$

最大约束残差 $0$

移动与描线

让连杆自己画出曲线

方位参数

\theta

250.00\,{}^\circ

指定角速率

\omega

60.00\,{}^\circ/\mathrm s

滑块铰点间距

L

1.60\,\mathrm m

画杆上的笔位

t

0.35\,

绘图平面由水平和竖直方向构成，向右、向上为正，纵深方向朝向你。控制面板里的角度用度，内部计算和 CSV 用弧度、米和秒。

蓝色滑块水平滑动，珊瑚色滑块竖直滑动。笔位比例在水平滑块处为零，到竖直滑块处为一，更大时笔伸到竖直滑块外侧。金色画杆始终是刚性的。

笔在中点时画出圆。笔在竖直滑块处时，椭圆退化成直线，线段两端速度为零，曲率没有定义。画杆匀速转动，画笔一般并不匀速。

播放把显示的相位区间描一遍就停。浅色路径是完整的几何参考，珊瑚色墨迹画到当前游标为止。往回拖只是回看这段相位，并不会擦掉真实的记录。CSV 含七百二十一个运动学采样，不是测量数据。

输入运动是给定的。模型只求几何关系和导数，不求接触力，也不模拟电机驱动。零件、笔架和间隙都是示意；材料穿透、惯性、摩擦、反向间隙、公差和结构安全都不在模型范围内。

两条滑槽是理想的正交移动副，画杆是刚体。画杆的方向按给定的恒定速率转动，并不代表由固定电机轴驱动。不考虑摩擦、质量、间隙、受力和驱动动力学。

先抓重点

核心问题: 画笔放在哪里，才能画圆而不是椭圆？
一句话直觉: 两个滑块给画笔提供两个互相垂直的正弦分量；笔在画杆上的位置决定这两个分量的振幅。

核心数学模型

两个滑块的位置

\mathbf A=(L\cos\theta,0),\quad\mathbf B=(0,L\sin\theta)

两铰点之间的距离不变。画杆的方位角与不断增大的参数角互为补角。

固定在画杆上的笔

\mathbf Q=(1-t)\mathbf A+t\mathbf B

比例从水平滑块朝竖直滑块方向量取。

椭圆的半轴

a=L|1-t|,\quad b=Lt

两个半轴相等且不为零时是圆；有一个半轴为零时，椭圆退化成直线。

速度与加速度

\dot{\mathbf Q}=L\omega(-(1-t)\sin\theta,t\cos\theta),\quad\ddot{\mathbf Q}=-\omega^2\mathbf Q

角速率恒定且为正，但画笔的速度大小一般并不恒定。

常见难点

浅色曲线不是测量结果

容易误解浅色曲线是一次独立的实验验证。

正确理解它是理想模型的完整轨迹。约束残差和独立的几何测试用来检查模型是否自洽；这里不采集真实数据。

运动是直接给定的

容易误解轨迹流畅，就说明真实机构能以这个速率安全运转。

正确理解质量、摩擦、接触力、间隙和驱动动力学都要另外分析。三维零件画出厚度，只是为了说明怎样装配。

动手实验

01
描出默认轨迹
选择绘图平面视角，播放或拖动珊瑚色手柄。
你会看到： 两个滑块各留在槽内，画笔沿椭圆运动。
02
移动笔位
比较中点、细长椭圆与滑块点预设。
你会看到： 中点画圆，滑块点画直线。
03
区分几何与速率
增大角速率，导出相位扫描。
你会看到： 路径不变，只是走得更快。速度与角速率成正比，加速度与角速率的平方成正比。

几何与装置：Il Giardino di Archimede · Peaucellier · Caltech · Elliptical Trammel