E04 · 电子显微 / 基础

电子分辨率与像差预算

校正球差之后，又是什么限制探针的大小？ 剩下各项里最大的那一项，比如色差、源尺寸、漂移或振动。校掉一种像差，最佳光阑也跟着变，下一个限制就露出来了。新的分辨率下限在哪，只能逐项去查。

调节光阑，逐项打开或关闭球差、色差、源尺寸、漂移、振动和像散。对照三样东西：径向相位（传递曲线也用它）、模糊预算的高斯参考，以及被光阑截止的弱相位传递。选一个测试频率，再改变能量展宽，分清哪部分是色差造成的衰减，哪部分是光阑截掉的。把光阑调到离这套预算下最优探针不超过 10% 的位置，然后打开校正，看剩下的极限来自哪里。

总探针尺度 $0\,\mathrm{nm}$

衍射贡献 $0\,\mathrm{nm}$

最大贡献 $\text{—}$

测试频率处有向传递 $\text{—}$

更多测量与实验目标

球差贡献 $0\,\mathrm{nm}$

色差贡献 $0\,\mathrm{nm}$

源与机械下限 $0\,\mathrm{nm}$

五阶残差 $0\,\mathrm{nm}$

扫描最优半角 $0\,\mathrm{mrad}$

扫描最优探针 $0\,\mathrm{nm}$

光阑截止频率 $0\,\mathrm{nm^{-1}}$

色差焦距标准差 $0\,\mathrm{nm}$

测试频率处包络 $\text{—}$

测试频率接收状态 $\text{—}$

实验任务 $\text{—}$

预设为模拟示例；各图标题注明数据来源。

球差校正器校正后仍留有残余球差和五阶项。会聚半角

\alpha

10\,\mathrm{mrad}

球差系数

C_s

1\,\mathrm{mm}

能量半高全宽

\Delta E

0.7\,\mathrm{eV}

CTF 离焦量：欠焦为正

\Delta f

0\,\mathrm{nm}

进阶设置

球差把这一项计入显示的探针尺寸估计。色差把这一项计入显示的探针尺寸估计。有限源把这一项计入显示的探针尺寸估计。漂移把这一项计入显示的探针尺寸估计。振动把这一项计入显示的探针尺寸估计。像散把这一项计入显示的探针尺寸估计。加速电压

V

200\,\mathrm{kV}

色差系数

C_c

1\,\mathrm{mm}

源模糊：高斯半高全宽

d_s

0.08\,\mathrm{nm}

漂移模糊：高斯半高全宽

d_{\mathrm{drift}}

0.03\,\mathrm{nm}

振动模糊：高斯半高全宽

d_v

0.02\,\mathrm{nm}

像散模糊直径

d_a

0.1\,\mathrm{nm}

测试空间频率

q

3\,\mathrm{nm^{-1}}

学习目标与模型边界

仪器设置

电子分辨率与像差预算

比较光阑截止频率和测试频率。关掉色差，就能单独看出时间相干包络带来的衰减。

模型假设

探针尺寸来自工程上的模糊预算，用峰值归一的高斯图示意，不是相干点扩散函数。校正后保留百分之一的球差，外加固定的 10 mm 五阶项。另有一条轴上弱相位参考，用同一个半角作硬光阑截止；它的相位包含离焦（欠焦记为正）以及三阶和五阶球差。能量宽度取高斯半高全宽，决定色差引起的焦距展宽。源尺寸、漂移和振动都按高斯图像模糊处理，以半高全宽给出。这里不模拟采集图像、源的角向相干、像散相位、透镜不稳定性、样品或探测器。光线误差和硬件都是示意；相位颜色按周期回绕，并按显示分辨率采样。

物理教程

校正球差之后，又是什么限制探针的大小？

背景调节光阑，逐项打开或关闭球差、色差、源尺寸、漂移、振动和像散。对照径向相位、模糊预算的高斯参考和被光阑截止的弱相位传递。把光阑调到离这套预算下最优探针不超过 10% 的位置，再打开校正，看剩下的极限来自哪里。

为什么值得理解读懂一张电子显微图像之前，先要知道电子源、透镜光学柱和样品本身各自限制了什么。

先抓重点

核心问题: 校正球差之后，又是什么限制探针的大小？
一句话直觉: 校正掉一种像差，最佳光阑就会移动，下一项最大的模糊随即显露出来。模糊预算估计探针有多大，带符号的 CTF 说明各个空间频率怎样传递，两者回答不同的成像问题。

核心数学模型

各项模糊按平方和合成

\begin{aligned}d^2={}&d_{\mathrm{diff}}^2+d_{\mathrm{sph}}^2+d_{\mathrm{chr}}^2\\&+d_s^2+d_{\mathrm{drift}}^2+d_v^2+d_a^2+d_5^2\end{aligned}

每一项都是特征直径；按平方和合成是一种工程近似。

光阑角对各项的影响

\begin{aligned}d_{\mathrm{diff}}&=0.61\lambda/\alpha\\d_{\mathrm{sph}}&=C_s\alpha^3/2\\d_{\mathrm{chr}}&=C_c\alpha\Delta E/E\end{aligned}

光阑角越大，衍射项越小，像差项越大。

校正后的残差

\begin{aligned}C_{s,\mathrm{res}}&=0.01C_s\\d_5&=C_5\alpha^5\\C_5&=10\,\mathrm{mm}\end{aligned}

这些残差数值只是示意，不代表任何商业校正器的性能。

弱相位传递函数

\begin{aligned}\chi(q)={}&-\pi\Delta f\lambda q^2\\&+\frac{\pi C_s\lambda^3q^4}{2}\\&+\frac{\pi C_5\lambda^5q^6}{3}\\T(q)&=-A(q)E_t(q)E_b(q)\sin\chi(q)\end{aligned}

欠焦记为正。瞳面图显示的是同一个径向相位。硬光阑只让所选半角以内的频率通过；只有打开球差校正时才加入五阶项。这条带符号的弱相位参考和探针直径预算分开计算，不含像散相位。

高斯相干包络

\begin{aligned}\sigma_f&=\frac{C_c\Delta E}{E\sqrt{8\ln2}}\\E_t(q)&=\exp[-(\pi\lambda\sigma_f q^2)^2/2]\\E_b(q)&=\exp[-2\pi^2\sigma_b^2q^2]\end{aligned}

能量展宽以半高全宽给出，先换算成焦距的标准差。另一个图像模糊标准差，由源、漂移和振动的半高全宽按平方和合成后换算。两种包络都不是实测的信息极限。

常见难点

校正器去不掉的限制

容易误解打开校正器会消除所有分辨率限制。

正确理解源尺寸、能量展宽、漂移、振动和高阶残差依然是限制。

动手实验

01
找到最佳光阑
比较窄光阑和宽光阑两个场景，预测最佳角度。再把探针调到最优值的 10% 以内，点击“核对目标”。
你会看到： 最佳光阑在两者之间，衍射和像差在这里互相平衡。
02
找出剩下的极限
打开校正，再逐一关闭色差、漂移和源尺寸项。
你会看到： 即使球差已经很小，剩下的其他项仍会限制校正后的探针。
03
观察对比反转
让离焦量在正负之间变化。选一个测试频率，收小光阑直到它被截掉，再打开光阑并增大能量展宽。
你会看到： 离焦改变相位，但不改变直径预算。光阑外的传递严格为零；光阑内，色差仍会让包络衰减。