光学 082 · 偏振、各向异性与光学调制

电光调制器

加在晶体上的电压，怎样控制一束光的亮暗？ 靠 Pockels 效应：外加电压让晶体折射率按比例改变，光的相位跟着移动，到半波电压时正好移半个波长。把晶体放在两片偏振片之间，相位变化就成了亮度变化；再加一个偏置，输出光强就随电压一起起伏。

三维的补偿式 Pockels 晶体对。半波电压由电极几何和电光张量算出；可以追踪复偏振、RC 响应和渡越时间响应，冻结波形，并从采样计算谐波。

由几何推导的半波电压

V_\pi

$0.50$

所选相位探测功率

P_D/P_0

$50\%$

假定 RC 幅度截止频率

f_{\rm RC}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

源正弦峰值幅度

V_{\rm ac}

100\,\mathrm V

射频驱动频率

f

40\,\mathrm{MHz}

偏置，相对半波电压

b

0.50\,V_\pi

每块匹配晶体长度

L

20\,\mathrm{mm}

驱动晶体电极间距

d

2\,\mathrm{mm}

假定驱动串联阻抗

R

50\,\Omega

检偏器：零移出，一移入

a

1

预备轴，从实验室 Y 转向 Z

\alpha

45^\circ

源射频探针相位

\varphi

90^\circ

晶体把电压变成相位，检偏器决定这个相位会不会变成明暗。先移出检偏器，再改变晶体几何来调半波电压；调整偏置，找到光强按两倍频率变化的位置。先采集接收波形，再分析它的谐波。

晶体是教学用材料，参数固定在六百纳米；补偿和检偏都理想，驱动电路按假定的集总电路处理。不涉及商用带宽、热效应和声学效应，也没有用实验标定。横向尺寸放大了六倍。

先抓重点

核心问题: 加在晶体上的电压，怎样控制一束光的亮暗？
一句话直觉: 检偏器与输入正交时，透射功率为 $T_D=\sin^2(2\alpha)\sin^2\!\frac{\Gamma}{2}$ 。移走检偏器，无损晶体对照样改变偏振，功率却保持不变。输入偏振沿任一本征轴时，相对相位根本无法调制光强。

\begin{aligned}\Delta n_e&=-\tfrac12n_e^3r_{33}V/d\\\Delta n_o&=-\tfrac12n_o^3r_{13}V/d\\V_\pi&=\frac{\lambda_0 d}{L(n_e^3r_{33}-n_o^3r_{13})}\end{aligned}

只有一块晶体加电，所以没有推挽结构的二倍因子。无源晶体等长，常光轴与非常光轴互换，正好抵消零电压时的天然延迟。材料常数取自 MIT 习题，固定在六百纳米，用于教学，不是经过标定的射频材料拟合。

\begin{aligned}\mathbf E_{\rm pair}&=\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma/2}&0\\0&e^{i\Gamma/2}\end{pmatrix}\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\T_D&=\sin^2(2\alpha)\sin^2(\Gamma/2)\\A+T_D&=1\end{aligned}

两个分量沿实验室 Y 和 Z，时间因子取负虚指数。共同相位已去掉，相对相位定义为常光相位减非常光相位。这个功率式只适用于交叉检偏器。没有检偏器时，总功率为一，吸收为零。

\begin{aligned}H_{\rm RC}&=\frac{1}{1+i2\pi fRC}\\H_{\rm opt}&=H_{\rm RC}\,\operatorname{sinc}(\pi f\tau_a)\\&\quad\cdot e^{-i2\pi f(\tau_a/2+\tau_{\rm after})}\\C&=\epsilon_0\epsilon_r\frac{Lw}{d}+C_p\end{aligned}

sinc 指正弦除以自变量。光穿过主动晶体的时间按一个假定的共同群折射率计算；之后的延迟包括无源晶体和到传感器的实际空气光程。电场是外加的均匀集总场，模型不求解行波电极，也不求解声学共振。直流偏置不衰减。正弦峰值幅度定义在电阻之前的理想电压源处。

容易误解正弦电压总会产生同频率的正弦光强。

正确理解检偏后的透射随电压非线性变化。零偏置时，正负电压给出相同功率，主要信号出现在两倍驱动频率。偏置在正交点时，小驱动就有很强的基频。谐波柱分析的是探测到的光强，不是光载频的边带。

01
场景 1：移出检偏器：功率恒定
先把检偏器移出。拖动波形相位探针，比较按同一尺度画出的偏振椭圆：功率始终为一。
你会看到： 光束沿实验室 X 轴传播。驱动晶体中，光沿晶轴 y 前进；晶轴 z 朝上，对应实验室 Y，晶轴 x 对应实验室 Z。正电压表示下电极为正，电场朝上。无源晶体长度相同，绕光轴转了一个直角，不加电场。
02
场景 2：正交工作点：每周期一脉冲
移入检偏器。比较正交偏置和零偏置，各采集一段波形，对比基频和二次谐波。
你会看到： 输入功率定义在源偏振片之后。检偏器始终与这个偏振方向正交；移除时，它会从光束中滑出。检偏器吸收它挡掉的功率，不透明探测器截止透射光。光的波长固定为六百纳米，用伪彩显示。
03
场景 3：零偏置：光强倍频
把电极间距加倍，或缩短两块匹配晶体，晶体实体和半波电压会一起变化。再提高频率或串联电阻，就能看到幅度下降和相位滞后。
你会看到： 所选射频相位以探测时刻的源时钟为准。晶体中的电场箭头显示当时的电极电压；偏振椭圆显示的是更早、按渡越时间平均的电压，因为被探测的光正是受它作用。场标记比较的是沿光路对应的传播状态，不是两块晶体在同一时刻的快照。白色尖端使用另一个放慢的光载频时钟。