光学 050 · 干涉、相干、光腔与精密测量

分波前干涉仪合集

为什么 Lloyd 镜和屏幕相接处是暗纹，双棱镜的中央却是亮纹？ Lloyd 镜的反射让光的相位翻转半个周期。镜面和屏幕相接处，直射光和反射光走的路一样长，只差这一翻转，于是正好抵消，成了暗纹。双棱镜和双面镜没有这一翻转，中央是亮纹；不过器件尺寸有限，只有两束光都照得到的地方才看得见。

三套联动的三维光台用不同方式分割波前：Lloyd 镜、薄 Fresnel 双棱镜和两面精确的平面镜。每套都推出自己的虚光源，判断有限大小的器件能让哪些光线通过，并给出一份模拟屏幕记录。

源像间距／中央条纹间距

d_v,\Delta q_0

$0.50$

探针强度／相对相位

I/I_{\max},\Delta\phi

$50\%$

屏幕窗口内重叠宽度／支路可达

W_{\cap},M_A,M_B

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

分波前干涉仪合集

单色真空波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

屏幕轴向距离（Lloyd／棱镜从源；双镜从铰接点）

D_{\mathrm{ax}}

1.20\,\mathrm m

Lloyd 实源到镜面的高度

h

1\,\mathrm{mm}

单片棱镜劈角／双镜相对倾角

\alpha

0.12^{\circ}

双棱镜指定常数折射率

n

1.50

双棱镜半孔径（几何随之改变）

w

4\,\mathrm{mm}

Fresnel 每片镜面的长度

\ell

80\,\mathrm{mm}

Lloyd 镜长度占源屏间距的比例

f

0.75

屏幕上的探针位置（不移动镜面）

q

0.50\,\mathrm{mm}

先看 Lloyd 镜：把光源抬高，条纹变密；缩短镜面，重叠区缩小。切到双棱镜：上下两半都发生折射，中央是亮纹。切到 Fresnel 双镜：两支光各反射一次，相同的反射相位互相抵消。用绿色屏幕探针扫过双束重叠区、单束区和未照明区。只有和当前器件相关的控制可用。拖动可旋转视角；可选的紫色虚线连到虚光源，并不是穿过镜面的光。

两支光都是理想的相干、单色、标量光，振幅为一。Lloyd 镜采用给定的相位反转反射，Fresnel 双镜共用这个相位。双棱镜按近轴薄相位屏处理，不对厚棱镜做 Snell 追迹。几何硬边界忽略了衍射、真实膜层相位、损耗、色散、光源宽度和噪声。横向比例是轴向的 33.3 倍；棱镜厚度相对轴向放大 1500 倍，并保留一个最小厚度以便看见。屏幕亮度用了显示 gamma，数据强度保持线性。重叠宽度在固定的 12 mm 窗口内每 5 微米采样一次。播放只移动放慢的路径标记。

物理教程

检验分波前干涉仪合集的物理过程

背景分波前不需要两盏灯。反射或折射让同一个相干场的不同部分改走不同路线，探测屏比较它们的光程： $\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(L_B-L_A)+\phi_B-\phi_A$ 。虚源是把改道后的光线反向延长得到的点，镜子背后并没有发光体。每套装置都只有一个真实光源。

为什么值得理解为什么 Lloyd 镜和屏幕相接处是暗纹，双棱镜的中央却是亮纹？

先抓重点

核心问题: 为什么 Lloyd 镜和屏幕相接处是暗纹，双棱镜的中央却是亮纹？
一句话直觉: 有两个虚源，不代表屏幕处处都有光。每个有限器件都给对应支路规定一个几何可达区域： $\frac I{I_{\max}}=\frac{M_A+M_B+2M_AM_B\cos\Delta\phi}{4}$ 。两支都到达的地方发生干涉；只到一支的地方，强度是归一化最大值的四分之一，没有条纹；两支都不到的地方是暗的。硬边界忽略了边缘衍射。

核心数学模型

Lloyd：一个实源及其镜像

\begin{aligned}d_v&=2h\\\Delta L&=\sqrt{D^2+(q+h)^2}\\&\quad-\sqrt{D^2+(q-h)^2}\\\phi_B-\phi_A&=\pi\end{aligned}

真实光源在不透光的水平镜面上方，虚像在镜面下方同样远处。反射光程按光线在镜面上的真实落点计算。反射设定为理想的相位反转，所以接触处的条纹是暗纹。真实膜层的反射相位随波长、角度和偏振变化，这里没有建这个材料模型。

Lloyd：有限镜面限制重叠

\begin{aligned}x_{\mathrm{hit}}&=\frac{Dh}{q+h}\\D(1-f)&\le x_{\mathrm{hit}}\le D\\0&\le q\le\frac{hf}{1-f}\end{aligned}

这套装置特意让镜面末端接到屏幕上，这样能看到理想的接触极限。长度比例移动的是镜面另一端。反射光照不到的上方只剩直达光；镜面平面以下，两支模型光都不存在。读出的重叠范围限制在固定的屏幕窗口内，每五微米取一个样。

双棱镜按薄相位屏处理，不按厚棱镜求解

\begin{aligned}\delta&=(n-1)\alpha,\quad a=0.25\,\mathrm m\\d_v&=2a\delta,\quad D=a+b\\u_{\pm}&=\frac aD(q\pm b\delta)\\\Delta L&=\frac{2a\delta q}{D}\end{aligned}

棱镜上下两半把光朝中央偏折，方向相反。每条光线都必须在选定孔径内穿过自己那一半。相位取同一个薄相位屏的近轴驻相光程，不混用另一套精确的球面距离公式。由于对称，中央是亮纹。折射率和劈角都是常数，不考虑色散和界面损耗。

Fresnel 双镜：精确镜像，各反射一次

\begin{aligned}\mathbf S_j'&=2\mathbf t_j(\mathbf t_j\cdot\mathbf S)-\mathbf S\\L_j&=|\mathbf P-\mathbf S_j'|\\d_v&=2r\sin\alpha,\quad r=0.25\,\mathrm m\\\phi_B-\phi_A&=\pi-\pi=0\end{aligned}

两段有限长的镜面在铰接处相连，彼此夹着选定的小角。光源和屏幕都在反射面一侧。光源相对平均镜面，保持两度的固定掠射角。坐标经过旋转，让平均出射轴保持水平。每条计入的光线都满足反射定律，落在自己那段镜面上，还要检查会不会被另一片镜挡住。图中的挡光片挡住从光源直射屏幕的光。

中央间距来自局部相位梯度

\begin{aligned}\Delta q_0&=\frac{\lambda}{|\partial_q\Delta L|_{q=0}}\\\Delta q_{0,\mathrm L}&=\frac{\lambda\sqrt{D^2+h^2}}{2h}\\\Delta q_{0,\mathrm B}&=\frac{\lambda D}{2a\delta}\\\Delta q_{0,\mathrm F}&=\frac{\lambda\sqrt{(R+r\cos\alpha)^2+(r\sin\alpha)^2}}{2r\sin\alpha}\end{aligned}

Lloyd 镜和双镜用的是精确几何光程，所以不假设条纹在任意大的角度下仍然等间距。双棱镜在近轴模型里条纹间距均匀。两个像没有分开时，就没有有限的条纹周期；把中央亮纹外推到这个极限，也得不到一片有限的照明重叠区。

模拟屏幕不是重建图像

\begin{aligned}E_A&=M_Ae^{i\varphi_A}\\E_B&=M_Be^{i\varphi_B}\\I/I_{\max}&=|E_A+E_B|^2/4\end{aligned}

屏幕纹理、强度曲线和探针读数，都来自同一组场和掩码。另有一个诊断图，把第一支场的相位定为零，显示第二支的相对相位；没到达的支路就没有矢量。振幅取一，忽略了扩散和损耗。强度按两束等振幅光相长叠加的峰值归一化，不是按总能流。屏幕显示的 gamma 和像素平均只影响画面外观。

常见难点

镜像不是透过镜子的光

容易误解虚源虚线就是透过镜面的真实光；双源公式适用于整个屏幕。

正确理解只有实线支路是真正到达屏幕的光。打开后出现的紫色虚线，只是反向延长的几何作图。镜面和棱镜大小有限，屏幕上有的位置只收到一支光，甚至一支都收不到，尽管两个虚源依然存在。

动手实验

01
场景 1：Lloyd 镜
先看 Lloyd 镜。升高光源，缩短真实镜面，再让探针扫过照明区域的边界。
你会看到： 竖直方向相对轴向放大了 33.3 倍。镜面顶点和光线端点用的是同一个变换，但画面上的角度不是真实的入射角。
02
场景 2：Fresnel 双棱镜
切换到双棱镜，改变劈角、折射率和孔径。对比中央有亮纹的设置和两束光不重叠的设置。
你会看到： 棱镜是围绕一个理想薄作用面画出的放大外形。轴向厚度放大 1500 倍，并保留最小可见厚度；它不代表光在厚玻璃里的精确路径。
03
场景 3：Fresnel 双镜
切换到 Fresnel 双镜，改变相对倾角和两片镜子的长度。分别查看光路侧视图和屏幕入光面。
你会看到： 播放只让路径上的标记慢速移动。暂停、转动视角或减弱动态，都不会改变采集到的数据。硬边界、沿屏幕宽度不变的场和无噪声探测器，都是理想化。