光学 060 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

衍射透镜工作坊

衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？ 环带间距决定各级的焦距，而且波长越长，焦点越近，和玻璃透镜正好相反。相位台阶分得越细，进入主焦点的光越多：两级台阶约 41%，越接近连续的 kinoform，就越接近全部。色差却不会跟着减小。

在同一个带移动接收器的光台上，搭出振幅波带片、二元或多级相位浮雕和连续相位透镜。透过各自有限的环带瞳采集焦斑像素，再比较多个焦点、各级次效率、浮雕深度，以及与光滑折射透镜方向相反的色差。

名义主焦点／实际接收距离

f_1,z

$0.50$

理想透射或一阶功率／有限窗口所采功率

T,\eta_1,P_{\rm window}

$50\%$

实际孔径半径／整波浮雕深度

a,h_{2\pi}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

衍射透镜工作坊

透镜类型（名称见下方按钮）

k

0

五百三十二纳米设计焦距

f_0

200\,\mathrm{mm}

完整等面积周期数（改变实际孔径）

K

10

入射波长（已制透镜不变）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

已制相位级数（仅多级透镜）

M

8

实际浮雕深度／设计深度

s_h

1

接收器行程／设计焦距

z/f_0

1

光源：零为单色，一为三色

c

0

显示增益指数（不改原始功率）

g

1

不透明的环带也能帮助聚焦：它挡掉的光，本来会和相邻环带的光相消。比较振幅片和二元相位片：环带位置不变，但吸收环变成了半波相位台阶。查看浮雕形貌，再让接收器经过三阶焦点和主焦点。在多级模式下改变台阶数，把各级次的理想功率和单独的轴向扫描对比：峰一样高，能量不一定一样多。切换到三种颜色：对衍射透镜来说，红光焦点更近；光滑的折射透镜对照则朝相反方向移动。连续相位透镜的相位是包裹的，它不是灯塔用的 Fresnel 透镜。放大数据放在装置之外。

模型采用均匀的标量近轴 Fresnel 与 Hankel 积分，不求解 Maxwell 方程，也不对商用 Fresnel 透镜做光线追迹。设计波长固定为五百三十二纳米，谱线是合成的，片子是理想吸收体或无损相位浮雕。折射率由 SCHOTT 谱线数据插值。各级次功率、轴向扫描强度和有限接收器上的功率分开显示。几何放大比例不同，显示采用对数增益，这两点都明确标出。

先抓重点

核心问题: 衍射透镜怎样聚焦，相位台阶分得更细又能改善什么？
一句话直觉: 一块固定的衍射片可以有多个名义焦点： $f_m(\lambda)=\frac{f_0\lambda_0}{m\lambda}$ 。波长越长，每个正级次的焦点越近。某一级的功率不等于它在轴上的峰高。负级次发散，零级没有有限焦点。

核心数学模型

制成片的环带布局

\begin{aligned}q&=\frac{r^2}{2\lambda_0 f_0},\quad 0\le q\le K\\a^2&=2K\lambda_0f_0\\h_{2\pi}&=\lambda_0/(n_0-1)\end{aligned}

每个完整周期面积相等。改变整数周期数，改变的是真实孔径半径，而不只是画出来的环数。设计焦距一变，每条边界都跟着变。光源颜色不会改变已经做好的衍射片。

玻璃浮雕带来正相位

\begin{aligned}t(r,\lambda)&=\exp\!\left[\frac{2\pi i}{\lambda}(n(\lambda)-1)h(r)\right]\\h_{\rm kin}&=s_hh_{2\pi}(1-\{q\})\\h_M&=\frac{s_hh_{2\pi}}M\left(M-1-\lfloor M\{q\}\rfloor\right)\end{aligned}

在设计波长下，向外逐级下降的台阶近似聚焦透镜的负二次相位，只差一个无关紧要的共同相位。二元片只有两级；连续相位片每满一整圈就包裹一次。厚度误差会在各级次之间重新分配功率，但各级次的名义焦点位置不变。

让光场穿过真实环带传播

\begin{aligned}U(\rho,z)&=\frac{2\pi}{i\lambda z}e^{ikz+ik\rho^2/(2z)}\\&\quad\cdot\int_0^a t(r)e^{ikr^2/(2z)}J_0(k\rho r/z)r\,dr\\I&=|U|^2\end{aligned}

积分范围是有限圆瞳里精确的环带区域，焦斑不预设为 Lorentz 或 Gaussian 形状。轴上的积分用解析式，离轴像素的平均用同一个光瞳。三条谱线互不相干，强度直接相加。对照曲线是单独传播出来的，不是从选中像素重建的。

各衍射级次的功率

\begin{aligned}c_m&=\int_0^1t(u)e^{2\pi imu}\,du\\\eta_1^{\rm amp}&=\frac1{\pi^2}\\\eta_1^{\rm binary}&=\frac4{\pi^2}\\\eta_1^{(M)}&=\left[\frac{\sin(\pi/M)}{\pi/M}\right]^2\end{aligned}

这些效率只适用于设计波长、设计深度下由完整周期组成的理想光瞳。二元片把功率分给会聚和发散的奇数级次；振幅片还要吸收一半的光，并留下零级。高级次焦点更小，所以功率较少时，轴上峰高也可能差不多。

有限接收面上的功率

\begin{aligned}I_p&=\frac1{p^2}\int_{\rm pixel}|U|^2\,dA\\P_{\rm window}&=\frac{p^2\sum_p I_p}{\pi a^2 I_{\rm inc}}\\\sum_{m=-\infty}^{\infty}\eta_m&=\int_0^1|t(u)|^2\,du\end{aligned}

小方形接收器会漏掉没聚焦的光和衍射环。理想情况下对无穷多级次求和，和有限窗口测到的不是一回事。图上只画十五个级次，其余级次不会被悄悄算作吸收。辐照度以完美全瞳的设计峰值为标尺，从不按当前最亮的像素缩放。

相反的色差方向

\begin{aligned}f_1^{\rm DOE}&=f_0\lambda_0/\lambda\\f^{\rm ref}&=f_0\frac{n_0-1}{n(\lambda)-1}\\\epsilon_{\rm F}&\simeq\frac{ka^4}{8z^3}\end{aligned}

玻璃为正常色散时，在光滑薄透镜对照里红光焦点更远，在固定的衍射片里红光焦点更近。折射率由标明的 SCHOTT 数据表插值。四次相位估计用来提示短距离下 Fresnel 近似的截断误差，不声称达到矢量计算或球面透镜处方的精度。宏观的折射式 Fresnel 槽不在本模型范围内。

常见难点

Fresnel 这个名字说明不了机理

容易误解带同心槽的透镜都一样，最亮的焦点包含了全部透射功率。

正确理解振幅遮挡、相位包裹和光滑折射是三种不同的机理。级次功率、扫描强度和有限窗口实际收到的功率，也是三个不同的量。

动手实验

01
场景 1：遮住交替环带
从振幅片开始，让接收器依次经过三级焦点和主焦点，再查看相间的不透明环带。
你会看到： 不透明环挡掉一部分入射光。轴上出现多个峰，但零级没有有限焦点。
02
场景 2：用相位代替吸收
换成二元相位片，查看玻璃上的半波台阶；把深度降到零，看会聚级次消失。
你会看到： 理想的二元相位片不吸收光，主级次的功率却只有约四成。
03
场景 3：量化与色差焦点
换成多级片，改变台阶级数，再试连续相位包裹；然后用三种颜色和光滑折射对照比较。
你会看到： 台阶越多，功率越集中。改变波长，功率又会重新分配，焦点随颜色移动的方向也和光滑玻璃相反。