光学 060 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

衍射透镜工作坊

在同一移动接收器光台构建振幅波带片、二元／多级浮雕与连续相位包裹透镜。从有限环带瞳采集焦斑像素，对比多焦点、模态效率、实际深度及与光滑折射对照相反的色差。

名义主焦点／实际接收距离

f_1,z

$0.50$

理想透射或一阶功率／有限窗口所采功率

T,\eta_1,P_{\rm window}

$50\%$

实际孔径半径／整波浮雕深度

a,h_{2\pi}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

衍射透镜工作坊

透镜类型（下方有名称按钮）

k

0

五百三十二纳米设计焦距

f_0

200\,\mathrm{mm}

完整等面积周期数（改变实际孔径）

K

10

入射波长（已制透镜不变）

\lambda

532\,\mathrm{nm}

已制相位级数（仅多级透镜）

M

8

实际浮雕深度／设计深度

s_h

1

接收器行程／设计焦距

z/f_0

1

光源：零为单色，一为三色

c

0

显示增益指数（不改原始功率）

g

1

不透明环带也能帮助聚焦：它去掉会与邻带相消的光。对比振幅片和二元相位片：环带位置不变，吸收变为半波相位台阶。检查实际浮雕，再让接收器经过三阶与主焦点。多级模式改变真实台阶数，对照理想级次功率与独立轴向扫描：峰一样高，不等于能量一样多。切到三色：衍射透镜的红光焦点更近，光滑折射对照向相反方向移动。连续相位包裹透镜不是灯塔 Fresnel 折射槽。放大数据留在装置之外。

均匀标量近轴 Fresnel/Hankel 模型，不是 Maxwell 或商用 Fresnel 槽光线追迹。固定五百三十二纳米设计、合成谱线、理想振幅吸收／无损相位浮雕，SCHOTT 谱线折射率插值。模态功率、轴向扫描强度与有限接收功率分别呈现；明确不等比例几何放大及对数增益。

先抓重点

核心问题: 环带位置与相位量化怎样交换聚焦效率和色散表现？
一句话直觉: 一块固定衍射片能有多个名义焦点： $f_m(\lambda)=\frac{f_0\lambda_0}{m\lambda}$ 。更长波使每个正级次焦点更近。级次功率不是轴向峰高；负级次发散，零阶没有有限焦点。

核心数学模型

同一个已制瞳面

\begin{aligned}q&=\frac{r^2}{2\lambda_0 f_0},\quad 0\le q\le K\\a^2&=2K\lambda_0f_0\\h_{2\pi}&=\lambda_0/(n_0-1)\end{aligned}

每个整周期面积相等。整数周期数改变真实孔径半径，不只是装饰环数；设计焦距改变每个边界。光源颜色不改变已制片。

实际玻璃带来正相位

\begin{aligned}t(r,\lambda)&=\exp\!\left[\frac{2\pi i}{\lambda}(n(\lambda)-1)h(r)\right]\\h_{\rm kin}&=s_hh_{2\pi}(1-\{q\})\\h_M&=\frac{s_hh_{2\pi}}M\left(M-1-\lfloor M\{q\}\rfloor\right)\end{aligned}

设计波长下，向外下降台阶逼近负二次聚焦相位，只差不影响强度的共同相位。二元片两级，连续透镜按一整圈包裹。厚度误差重新分配功率，而名义模态焦点位置不变。

传播真实环带

\begin{aligned}U(\rho,z)&=\frac{2\pi}{i\lambda z}e^{ikz+ik\rho^2/(2z)}\\&\quad\cdot\int_0^a t(r)e^{ikr^2/(2z)}J_0(k\rho r/z)r\,dr\\I&=|U|^2\end{aligned}

在精确环带积分域传播有限圆瞳，不造 Lorentz 或 Gaussian 焦峰。轴向解析积分，同一瞳产生离轴像素平均。三色因互不相干而相加强度。对照另行传播，不是所选像素的重建。

模态功率，不是峰高

\begin{aligned}c_m&=\int_0^1t(u)e^{2\pi imu}\,du\\\eta_1^{\rm amp}&=\frac1{\pi^2}\\\eta_1^{\rm binary}&=\frac4{\pi^2}\\\eta_1^{(M)}&=\left[\frac{\sin(\pi/M)}{\pi/M}\right]^2\end{aligned}

这些效率仅适用于设计波长与深度下完整周期理想瞳。二元片把功率分给收敛与发散奇数级次；振幅片还吸收一半，并留下零阶。高阶焦点更小，因此较少模态功率也能给相近轴向峰。

有限接收功率

\begin{aligned}I_p&=\frac1{p^2}\int_{\rm pixel}|U|^2\,dA\\P_{\rm window}&=\frac{p^2\sum_p I_p}{\pi a^2 I_{\rm inc}}\\\sum_{m=-\infty}^{\infty}\eta_m&=\int_0^1|t(u)|^2\,du\end{aligned}

小方接收器会漏掉失焦光和衍射环。理想无限模态预算不等于有限窗口测量。只画十五个级次，其他级次不会被偷偷计为吸收。辐照度标尺为理想完整瞳的设计峰，不随当前最亮像素改变。

相反的色差方向

\begin{aligned}f_1^{\rm DOE}&=f_0\lambda_0/\lambda\\f^{\rm ref}&=f_0\frac{n_0-1}{n(\lambda)-1}\\\epsilon_{\rm F}&\simeq\frac{ka^4}{8z^3}\end{aligned}

正常玻璃色散下，红光在光滑薄透镜对照中焦点更远，在固定衍射片中更近。折射率用明确 SCHOTT 表格插值。四次相位估计提示短距离 Fresnel 截断，不宣称矢量或球面处方精度。宏观折射 Fresnel 槽不在模型内。

常见难点

Fresnel 名称不能代替机理

容易误解所有同心槽透镜都一样，最亮焦点包含全部透射功率。

正确理解区分振幅遮挡、相位包裹与光滑折射；模态功率、扫描强度和实际有限窗口功率是三个不同量。

动手实验

01
场景 1：遮住交替环带
从振幅片开始，让接收器经过三阶与主焦点，检查不透明交替环。
应该观察到： 不透明环终止入射支路；多个轴向峰存在，零阶无有限焦点。
02
场景 2：用相位代替吸收
用二元相位片，检查真实半波台阶；把深度降为零，观察收敛级次消失。
应该观察到： 理想二元相位避免吸收，主阶功率却仅约四成。
03
场景 3：量化与色差焦点
用多级透镜，改变真实级数，再试连续相位包裹；对比三色和光滑折射对照。
应该观察到： 更多台阶集中模态功率；改波长重新分配功率，色差方向与光滑玻璃相反。