对撞机物理 · 从测量找回质量谱

探测器响应与谱展开

两个相邻的峰，被探测器抹糊后还能分开吗？ 响应矩阵把原来的谱与探测器读到的谱联系起来。展开可以估计原谱，但分辨率有限、响应模型不准时，噪声和偏差也会一起放大。

跟随保存的模拟事件，看真值质量怎样变成重建质量。调节探测器分辨率，再从采集到的谱展开，和已知的模拟真值对照。

采集事件数 $1234$

展开后的总事件数 $1514$

相对模拟真值的误差 $14.2\%$

回折谱的泊松偏差 $17.97$

从事件到质量谱

抹糊、记录、展开

质量分辨宽度

\sigma_m

6\,\mathrm{GeV}

真值峰间距

\Delta m

28\,\mathrm{GeV}

展开迭代次数

k

8

探测效率

\epsilon

0.82

标定与采集使用两组独立事件。

模型与已保存事件

一维探测器采用高斯展宽和恒定效率。响应矩阵固定，没有传播标定误差。展开从均匀正先验出发，用迭代次数控制正则化。画面循环回放 70 个已记录事件。真值和重建质量以同一个事件编号对应，丢失事件的轨迹逐渐淡出。质量谱使用全部 1500 个生成事件；每个真值格各有 700 个独立标定事件。

回折后拟合得好，展开结果仍可能偏。金色曲线是估计结果，青色虚线单独标出模拟真值。

D’Agostini (2010)

模型假设

合成质量记录采用高斯探测器响应。标定、先验和误差假设见折叠的模型说明。

质量谱怎样变化

模拟真值采集计数展开估计

采集点的误差棒为计数平方根；这里没有画展开结果的误差。

每个真值格被记到了哪里

$R_{ji}=P(j\mid i)$

越亮表示概率越大。每列之和是该真值格的接受率，丢失事件留在矩阵之外。

先抓重点

核心问题: 测量把两个峰抹到一起后，还能知道它们原来的样子吗？
一句话直觉: 展开按标定过的响应重新分配计数；最后能看清多少细节，取决于数据里的信息，也取决于正则化。

核心数学模型

真值格怎样变成记录格

\nu_j=\sum_i R_{ji}t_i,\qquad \epsilon_i=\sum_j R_{ji}

列标真值质量，行标重建质量。探测器会漏事件，质量还可能落到显示窗口之外，每列之和因此可以小于一。

做一次迭代更新

\begin{aligned}\nu_j^{(k)}&=\sum_\ell R_{j\ell}t_\ell^{(k)}\\t_i^{(k+1)}&=\frac{t_i^{(k)}}{\epsilon_i}\sum_j R_{ji}\frac{n_j}{\nu_j^{(k)}}\end{aligned}

从各格都为正的均匀谱开始，把每个记录格里的计数分给几种可能的来源，再校正效率。早停会抹平结构，多迭代又可能放大噪声。

和保存的模拟真值比较

e=\frac{\sqrt{\sum_i(\hat t_i-t_i)^2}}{\sqrt{\sum_i t_i^2}}

相对误差用到模拟器保存的真值直方图。真实测量只有重建记录，不能直接算出这个数。

常见难点

折回去拟合得好，真值仍可能错

容易误解展开后的谱经过探测器响应，能重现采集计数，就说明它是真值。

正确理解几种差别很大的真值谱，抹糊后可能相近。标定里漏掉一次整体质量偏移，也能让推断出的峰一起偏走。换一种独立真值形状、反复采集，才能看出这种敏感性。

迭代次数在改变估计方法

容易误解多算几次，总能把每个窄峰都找回来。

正确理解有限分辨率已经丢掉一些信息。增加迭代是在平滑偏差与噪声之间取舍，有限样本还会涨落。置信区间需要同时考虑这些偏差和响应本身的不确定度。

动手实验

01
跟着一个事件看
看青色到珊瑚色的连线，再拖动金色分辨率手柄。
你会看到： 分辨变差时，路径向两侧散开。漏掉的事件逐渐淡出，不会进入采集质量谱。
02
让两个峰融在一起
选择“两个峰融在一起”，比较采集计数与模拟真值。
你会看到： 真值里的两个窄结构变成测量里的一座宽丘，响应矩阵也向更多重建格扩散。
03
改变正则化
保持同一组采集记录，增加“展开迭代次数”。
你会看到： 金色估计可能长出更尖的结构。珊瑚色采集点保持不变，因为分析的仍是那组已保存事件。
04
漏掉一次标定偏移
选择“漏掉整体偏移”，对照真值误差与回折谱的泊松偏差。
你会看到： 重建谱仍能拟合得像样，展开质量却可能已经偏离已知的模拟真值。

探测器响应与谱展开

质量谱怎样变化

每个真值格被记到了哪里

把探测器抹糊的质量谱展开

核心数学模型

真值格怎样变成记录格

做一次迭代更新

和保存的模拟真值比较

常见难点

折回去拟合得好，真值仍可能错

迭代次数在改变估计方法

动手实验

跟着一个事件看

让两个峰融在一起

改变正则化

漏掉一次标定偏移

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