短脉冲准直 / 相位光学

物质波透镜

一次短脉冲，怎样让散开的物质波放慢扩散，甚至重新聚焦？ 脉冲给波包各处一个指向中心的冲量，离中心越远推得越重。自由散开一段时间后，外侧的部分正是往外跑得最快的。强度合适，脉冲正好抵消这股向外的运动，只剩很小的动量弥散，波包变宽慢得多。强度加倍，波包会往回收，在两倍脉冲时刻缩回原来的宽度，然后再散开。

先让原子波包自由散开，再施加一次二次相位脉冲：可以让它准直，也可以聚焦，再穿过焦点散开。空间密度还来不及变，动量分布已经改写。

波在空间和时间中的完整演化

当前位置展宽

0

金色切片 · 选定时刻

0

相位色相 · 原点任意0

2\pi

左右：位置后方 → 前方：时间高度：概率振幅

这是一维波的完整演化图。纵深代表时间，不是另一个空间方向。振幅增益固定；可见位置窗口为 −40 到 40。

\tau=8

01 / 到底是什么在移动

脉冲改变的是之后的演化。

青线为有脉冲的位置展宽，珊瑚虚线为同初态无脉冲对照，紫线为脉冲时刻。拖动光标查看。

$\tau\ \longrightarrow\quad\sigma_x/\ell$

02 / 空间与时间

找到波包最窄的地方。

横向位置 −40 到 40；时间自顶端 0 到底端 12。固定平方根密度色标。金线为质心，白线为选定时刻。

03 / 位置

沿着这一刻，切开波形。

青线为当前波形，珊瑚虚线为未整形对照。纵轴是各区间的线性概率，最外两格包含窗口外概率。

$q=x/\ell$

04 / 动量

脉冲的作用立刻出现在动量上。

青线为选定态，珊瑚虚线为脉冲前。脉冲瞬间位置密度不变，动量分布可以改变。

纵轴为动量概率密度。显示窗口为 −4 到 4，统计矩使用完整动量谱。

$k=p\ell/\hbar$

从振幅到一次次探测

一次读出，一个位置。

0 / 8000

每个试次都是演化到选定时刻的新制备。按位置网格 Born 概率抽样，保留全部试次，种子固定可复现。下方区间仅含采样噪声；位置记录不测量动量或相位。

落在右侧的记录比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

模型给出的右侧概率

\text{—}

模型动量展宽

\text{—}

让一个个位置拼出图案。

金柱为记录频率，青线为模型概率。位置区间从 −40 到 40；最左、最右两格收纳窗口之外的全部读出。

最近 20 条记录 · 导出全部试次

试次	$q=x/\ell$	右半轴

方程、尺度与模型边界

位置用自由选择的长度单位表示，动量与时间单位由此确定。位置正向朝右；没有拟合实验长度、原子质量或温度。

q=x/\ell,\quad k=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

i\partial_\tau\psi=-\tfrac12\partial_q^2\psi,\quad \widetilde\psi(k,\tau)=e^{-ik^2\tau/2}\widetilde\psi(k,0)

\psi(q,0)=C e^{-q^2/(4\sigma_0^2)},\quad\psi_+=e^{-i\kappa q^2/2}\psi_-

\kappa=r\,\frac{\tau_L/(4\sigma_0^2)}{\sigma_0^2+\tau_L^2/(4\sigma_0^2)}

脉冲按位置线性改变动量。强度 1 消除位置与动量的协方差，使动量方差最小。强度 2 的动量分布与脉冲前相同，但位置与动量的关联反向，因此仍会聚焦。范数与纯度保持不变；展宽减小不是耗散冷却。脉冲时刻的帧表示脉冲刚施加后的状态。

周期区间长度 1024，4096 个傅里叶采样点，间距 0.25。自由演化为幺正谱相位旋转，透镜为位置相位乘法。仅在制备时归一化。画面中的 80 单位窗口是裁剪；模型、矩和位置记录均使用完整网格。

曲面高度为位置密度平方根的七倍。密度颜色在 0.5 饱和；相位色相的整体原点任意。两种显示方式均不改变波函数或记录。

\Delta N=0

P_{\mathrm{edge}}=0

P_{\mathrm{view}}=1

边界概率取完整计算区间最外侧的 10%。离散与截断属于数值误差，不包含在采样噪声区间内。忽略相互作用、环境噪声、探测器模糊及脉冲间的外力。

Ammann & Christensen · Delta Kick Cooling · Physical Review Letters (1997)

Myrskog et al. · Magnetic-gradient delta-kick cooling · Physical Review A (2000)

先抓重点

核心问题: 一次短脉冲，怎样让散开的物质波放慢扩散，甚至重新聚焦？
一句话直觉: 二次相位脉冲先改变动量，密度过一会儿才跟着变。

核心数学模型

自由演化

\widetilde\psi(k,\tau)=e^{-ik^2\tau/2}\widetilde\psi(k,0)

脉冲之间动量概率不变，相对相位持续演化。

薄物质波透镜

\psi_+(q)=e^{-i\kappa q^2/2}\psi_-(q)

相位瞬间改变，位置密度和范数都不变。

常见难点

曲面不是轨迹

容易误解粒子沿着立体曲面运动。

正确理解纵深代表时间，高度代表概率振幅，每一个横向切片就是某一时刻的一维波函数。

区分模型与实验

容易误解动量变窄意味着熵被移除了。

正确理解模型是一个理想、孤立的高斯单粒子态，加一次瞬时的谐势冲击。不考虑碰撞、势阱像差、有限的脉冲时长和热系综。动量展宽变小，不等于熵被移走；这里也不预测实验温度。

动手实验

01
先做预测
在标出的时刻比较三个预设。
你会看到： 没有脉冲时，波包一直散开；准直让散开变慢；更强的脉冲会让波包收成一个束腰。
02
找到原因
拖动时间轴，对比位置和动量分布。
你会看到： 脉冲那一刻动量变了，位置密度却没有跳变。
03
采集与比较
采集 400 次读出，重复累积、定格并导出记录。
你会看到： 直方图由这些位置算出。试次越多，采样噪声越小。