M046 · 能量与几何

摆线最速与等时挑战

在相同端点之间比较直线、圆弧、多项式及摆线；再从同一摆线的三个高度释放质点，与底部曲率匹配的圆弧和原始到达计时对照。

摆线选中测点时间 $\text{就绪}$

摆线选中速度 $\text{就绪}$

摆线到达时间 $\text{就绪}$

独立解析摆线时间 $\text{就绪}$

最大细化时间差 $\text{就绪}$

采集时间差 $\text{就绪}$

实验模式 $\text{就绪}$

采集轨道数 $\text{就绪}$

几何 / 接触 / 计时

哪条曲线最快，哪条等时？

模式：同端点或等时

c

0.00\,

端点竖直落差

H

2.00\,m

端点水平间距

X

3.00\,m

多项式下凹系数

\beta

1.00\,

等时摆线生成圆半径

a

1.00\,m

离底部的最大释放比例

f

0.80\,

匀强重力加速度

g

9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}

每段积分区间数

N

160.00\,

重放时间比例

t/T_{max}

0.55\,

传感器噪声增益

\eta

0.00\,

匀强重力下双侧约束线上的无摩擦滑动质点。球大小为示意；忽略滚动、摩擦、阻力及制造误差。

端点竞速的释放与终点坐标相同。摆线可下探到终点以下；多项式下凹是可调比较族，不是任意路径优化器。

等时模式比较同一摆线上的三个静止释放；圆形参考匹配底部曲率及最高释放高度。每个小珠止于首次到达。

采集到达后，用模拟原始计时对比计算曲线及解析参考；噪声增益缩放一毫秒及十分之一毫米。

无摩擦双侧约束滑动质点。最速下降及等时到达是不同程序；数值积分与解析参考分开显示。

先抓重点

核心问题: 哪条曲线最快，哪条等时？
一句话直觉: 比较最速时固定端点，比较等时时固定碗形。

核心数学模型

同端点摆线

\begin{aligned}x&=a(\theta-\sin\theta)\\y&=H-a(1-\cos\theta)\end{aligned}

由端点比例求末角，再确定生成圆半径；宽间距可使轨道下探到终点以下。

下降时间泛函

T=\int\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{\sqrt{2g(H-y)}}

最短路径未必使此积分最小；用平方积分坐标消除静止释放端点奇性。

摆线解析计时

T_{race}=\theta_f\sqrt{a/g}

独立解析值核对从尖点释放的摆线数值行进时间。

弧长坐标振子

\begin{aligned}s_b&=4a\cos(\theta/2)\\y&=\frac{s_b^2}{8a}\\\ddot s_b&=-\frac{g}{4a}s_b\end{aligned}

距碗底的弧长给理想滑动质点一个精确二次势能。

首次到达等时

T_{first}=\pi\sqrt{a/g}

三个不同非零高度的静止释放用时相同，均为四分之一周期；圆形参考底部曲率相同，用时随振幅变化。

常见难点

理想化装置

容易误解画出的球包含滚动、悬架及真实硬件动力学。

正确理解这是滑动质点模型；轨道和标记厚度为示意。

动手实验

01
同端点竞速
调整水平间距、竖直落差及多项式下凹。
应该观察到： 摆线在相同释放和终点条件下比较。
02
分离两个程序
选择三个释放高度并观察共同底部。
应该观察到： 三条摆线形状、重力及零初速度相同，释放高度不同。
03
挑战等时到达
将近底部释放与圆形参考对比。
应该观察到： 圆形参考在小振幅趋近同一计时，在有限高度变慢。
04
采集与细化
零噪声采集到达，再调整噪声或积分区间。
应该观察到： 原始计时与解析参考分开；改变装置会清空旧记录。