光学 069 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

编码孔径相机

不用镜头，只用一块带图案的掩模，相机怎样成像？ 场景里每一点都在探测器上投下一个错开的掩模阴影，记录到的是所有阴影的叠加。拿配套的解码图样和它做相关，例如 MURA 掩模对应的解码器，就能把这些阴影重新拆成场景图像。噪声和掩模有限的边缘会留下伪影。

从相互重叠的阴影里解码出天空。掩模有具体的开孔，计数服从 Poisson 统计；可以看到 MURA 的局限，以及有限掩模边缘造成的伪影。

基本编码开口率／源期望计数

f_{\rm open},C_{\rm src}

$0.50$

探测拟合／仅模拟真值误差

\varepsilon_D,\varepsilon_{\rm truth}

$50\%$

轴上角度步长／选中源编码率

\Delta\theta,c_{\rm selected}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

编码孔径相机

掩模编号（名称见下方按钮）

h

0

随机掩模目标开口率（不改 MURA／针孔）

f_{\rm random}

0.50

零为有限掩模，一为完整拼接

e

1

掩模—探测面间距

d

100\mathrm{mm}

主源所在网格列（向右为正）

q_x

3

主源所在网格行（向下为正）

q_y

-2

零为双点，一为点与扩展环

o

0

单位光源下每个开孔的期望计数

E

100

已标定的均匀背景（每像素计数）

b

2

零为期望，一为 Poisson 采集

n

0

零为周期相关，一为几何匹配岭重建

m

0

岭罚系数／平均列范数平方

\rho

0.010

这里没有镜头。来自两个远场方向的光，各自把二值掩模的阴影平移后投到同一台计数探测器上。在真值面板中拖动亮源，看它的阴影移动。比较 MURA、随机掩模和针孔，再去掉外圈拼接，边缘就会出现伪影。每张解码图都来自记录下的非负计数。岭重建考虑了掩模板的有限大小，周期解码没有。光多了，信息不一定就多。

光源理想、非相干，位于远场；阴影按整数网格平移，掩模方格与探测器像素一一匹配。计数是合成的，背景已标定。不考虑衍射和穿透掩模，也不使用真实望远镜数据。

物理教程

检验编码孔径相机的物理过程

背景探测器记录不了负的掩模权重。开孔透光，闭格吸光，各个非相干光源的贡献直接相加： $D_i\sim\operatorname{Poisson}\!\left(E\sum_q H_{iq}f_q+b\right)$ 。记录可以选无噪声的期望值，也可以选固定随机种子的 Poisson 计数。带正负号的解码器只在采集完成后才用上。

为什么值得理解不用镜头，只用一块带图案的掩模，相机怎样成像？

先抓重点

核心问题: 不用镜头，只用一块带图案的掩模，相机怎样成像？
一句话直觉: 对完整的 13 乘 13 MURA 周期，掩模和它的专用解码器满足 $A\star G=K\delta,\qquad K=84$ 。实体掩模板一旦被截短，周期模型就不成立。原点修正不能省，因为普通自相关并不是完美的单峰。

核心数学模型

光线几何与真实掩模尺寸

\begin{aligned}\mathbf r_M&=\mathbf r_D-a\mathbf q\\ \tan\boldsymbol\theta_{\rm ray}&=\frac{a\mathbf q}{d}\\ N_D&=13,\quad N_M=25\text{ or }13\\ a&=2\,\mathrm{mm}\end{aligned}

探测图上，行号向下增加，列号向右增加。光线从掩模射向探测器，光源方向和入射光线的斜率方向相反。完整拼接覆盖所有采样平移，板外不会绕回。平移整数格时，像素和开孔面积正好对齐。

非负的计数采集

\begin{aligned}\mu_i&=E(H\mathbf f)_i+b\\ D_i&\sim\operatorname{Poisson}(\mu_i)\\ \mathbb E[D_i]&=\operatorname{Var}(D_i)=\mu_i\end{aligned}

通量以单位光源在每个开放探测像素上的计数表示。背景均匀，事先标定，不用真值拟合。关掉噪声时，记录的是期望计数，不一定是整数。打开噪声时，用小均值的精确 Poisson 采样，均值大时把多次采样相加。

解码记录下的阴影

\begin{aligned}\widehat f_q&=\frac{\sum_i G_{i-q}(D_i-b)}{EK}\\ G_{00}&=1,\quad G_{ij}=2A_{ij}-1\ (i,j)\ne(0,0)\end{aligned}

MURA 加上特殊的原点修正，只有在完整周期下才给出单峰点响应。其他掩模用零均值的匹配相关，并归一到轴上峰值为一；这样会丢掉天空的平均亮度，旁瓣也会留下。这一点明确标出，不声称随机掩模能完美反演。

按有限几何做岭重建

\begin{aligned}\widehat{\mathbf f}&=\arg\min_{\mathbf f}\left\|H\mathbf f-\frac{\mathbf D-b}{E}\right\|^2+\lambda\|\mathbf f\|^2\\ \lambda&=\rho\frac{\operatorname{tr}(H^TH)}{169}\end{aligned}

共轭梯度法用实际的有限矩阵，只用采集到的数据。这是允许负值的岭最小二乘，没有非负先验，不是最优的 Poisson 似然，也不是真正的 Wiener 滤波。最多迭代八十步。正则化能压低噪声，也会让场景产生偏差。

常见难点

开孔越多，图像就一定越好吗？

容易误解阴影图越亮，重建就一定越清晰、信噪比越高。

正确理解每个开孔也会放进其他光源的光子，它们的散粒噪声做减法也去不掉。掩模图案、背景、光源分布，以及有限几何是否建模正确，都会影响结果。计数多了，信息不一定跟着多。

动手实验

01
场景 1：完整 MURA 阴影
在答案图中拖动亮源。查看真实的开孔和探测器正面，看两个阴影怎样叠在同一块探测器上。
你会看到： MURA 的 169 格中固定开 84 格，开口率不能随意调。开口率滑块只改变随机掩模的设计。
02
场景 2：随机掩模与光子噪声
保持曝光不变，在 MURA、随机掩模、阵列和单针孔之间切换。比较各自实际收集的计数，以及解码后点响应的旁瓣。
你会看到： 改变间距时，实体探测器跟着移动。角度网格的步长变小，但整数格的阴影平移保持不变。
03
场景 3：掩模边缘缺失
去掉外圈拼接，把一个光源移到边缘。用同一份记录，比较周期解码和考虑真实几何的岭重建。再加入 Poisson 噪声，增大曝光。
你会看到： 真实场景只用来给结果打分。相关解码和岭重建可能给出负值、正则化偏差或鬼影，原始记录却始终非负。