光学 069 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

编码孔径相机

从重叠阴影中解码天空：真实掩模开孔、Poisson 采集、MURA 极限与有限边缘伪影。

基本编码开口率／源期望计数

f_{\rm open},C_{\rm src}

$0.50$

探测拟合／仅模拟真值误差

\varepsilon_D,\varepsilon_{\rm truth}

$50\%$

轴上角度步长／选中源编码率

\Delta\theta,c_{\rm selected}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

编码孔径相机

掩模编号（下方命名按钮）

h

0

随机掩模目标开口率（不改 MURA／针孔）

f_{\rm random}

0.50

零为有限掩模，一为完整拼接

e

1

掩模—探测面间距

d

100\mathrm{mm}

主源水平网格（向右为正）

q_x

3

主源竖直网格（向下为正）

q_y

-2

零为双点，一为点与扩展环

o

0

单位光源每开孔的期望计数

E

100

已标定均匀背景计数／像素

b

2

零为期望，一为 Poisson 采集

n

0

零为周期相关，一为几何匹配岭重建

m

0

岭罚系数／平均列范数平方

\rho

0.010

没有镜头。两个远场方向在一台计数探测器上投下二值掩模的平移阴影。拖动答案面板中的亮源，观察阴影移动。比较 MURA、随机掩模及针孔，再移除外层拼接，揭示边缘伪影。每张解码图都来自已采集的非负计数。几何匹配岭重建知道有限掩模，周期解码不知道。更多光不自动等于更多信息。

理想非相干远场、整数网格平移、匹配方格与像素。合成计数及标定背景；不含衍射、穿透或真实望远镜数据。

先抓重点

核心问题: 一张带图案的阴影怎样在没有传统镜头时编码场景？
一句话直觉: 对于此完整 13 方格 MURA 周期，掩模与特殊解码器满足 $A\star G=K\delta,\qquad K=84$ 。截断实体掩模破坏周期模型。原点修正不可省略，普通自相关不是完美单峰。

核心数学模型

光线几何与真实掩模尺寸

\begin{aligned}\mathbf r_M&=\mathbf r_D-a\mathbf q\\ \tan\boldsymbol\theta_{\rm ray}&=\frac{a\mathbf q}{d}\\ N_D&=13,\quad N_M=25\text{ or }13\\ a&=2\,\mathrm{mm}\end{aligned}

探测图像行向下、列向右增加。光线从掩模到探测器传播，源方向与入射传播斜率相反。完整拼接覆盖所有采样平移，板外不绕回。整数平移下像素与开孔面积匹配。

非负采集

\begin{aligned}\mu_i&=E(H\mathbf f)_i+b\\ D_i&\sim\operatorname{Poisson}(\mu_i)\\ \mathbb E[D_i]&=\operatorname{Var}(D_i)=\mu_i\end{aligned}

通量用单位源每个开放探测像素的计数表示。背景均匀且已标定，不用真值拟合。关噪时记录为期望，不必为整数。开噪时用小均值精确 Poisson 采样之和处理大均值。

解码已记录阴影

\begin{aligned}\widehat f_q&=\frac{\sum_i G_{i-q}(D_i-b)}{EK}\\ G_{00}&=1,\quad G_{ij}=2A_{ij}-1\ (i,j)\ne(0,0)\end{aligned}

特殊 MURA 原点修正只在完整周期给出单峰响应。其他掩模用零均值匹配相关，归一到轴上单位峰，丢失天空均值并保留旁瓣。明确标注，而不声称随机掩模完美反演。

有限几何岭重建

\begin{aligned}\widehat{\mathbf f}&=\arg\min_{\mathbf f}\left\|H\mathbf f-\frac{\mathbf D-b}{E}\right\|^2+\lambda\|\mathbf f\|^2\\ \lambda&=\rho\frac{\operatorname{tr}(H^TH)}{169}\end{aligned}

共轭梯度使用实际有限矩阵及采集数据。这是带符号岭最小二乘，不是非负先验、最优 Poisson 似然或真正 Wiener 滤波。最多八十步，正则可抑噪也可偏置场景。

常见难点

更多开孔一定意味着更好图像？

容易误解更亮的阴影图保证更清晰、更高信噪比的重建。

正确理解每个开孔也带来其他源的光子，散粒噪声不会因减背景而消失。图案、背景、源结构与正确有限几何都重要。更多计数不自动等于更多信息。

动手实验

01
场景 1：完整 MURA 阴影
在答案中拖动亮源。查看真开孔与接收正面，观察两个阴影在同一探测器上混叠。
应该观察到： MURA 为 169 格中开 84 格，并非可任意调整的开口率。开口率滑块只改变随机设计。
02
场景 2：随机掩模与光子噪声
保持曝光，切换 MURA、随机掩模、阵列与单针孔。比较实际计数预算及解码点响应旁瓣。
应该观察到： 改变间距时实体探测器移动，角度网格步长减小，固定整数格阴影平移不变。不伪造模糊变化。
03
场景 3：掩模边缘缺失
移除外层拼接，将源移至边缘，在不改记录下比较周期解码与几何匹配岭重建。加入 Poisson 噪声并增大曝光。
应该观察到： 真值只用于模拟评分。相关与岭重建可能出现负估计、正则偏差或伪影；原始记录仍非负。