M007 · 圆周与正交投影

匀速圆周运动观测台

速率不变，为什么仍有加速度？ 速度还包含方向。速率不变时，速度仍要不断转向下一条切线，因此加速度指向圆心。同样速率下，圆越小，所需加速度越大。每一路正交投影都是简谐运动，周期与绕圆一圈相同。

拖动旋转标记，调节半径与角速度。对照切向速度、向心加速度、周期和两路简谐投影，看同一运动怎样彼此对应。

速率 $1.8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

向心加速度 $2.16\,\mathrm{m\,s^{-2}}$

转动周期 $5.24\,\mathrm{s}$

水平投影位置 $0.75\,\mathrm{m}$

模型假设

理想电机规定水平实验平面内的匀速圆周运动，从水平正轴起逆时针为正。转臂、轴承、标记大小和箭头长度为示意。改变半径或有向角速度时，保留当前角位置并重新计时，不计算调整过程。图表给出精确模型坐标与速度分量，并非相机观测或透视画面的像素位置。正交投影做简谐运动，圆周速率保持不变。角速度为零时没有唯一的转动周期，静止状态会收起时间图。不模拟电机转矩、结构载荷、阻力与过渡过程。

先抓重点

核心问题: 同样速率下，改变半径会改变什么？
一句话直觉: 圆越紧，速度转向越快。每一路正交投影在转完一圈时恰好振动一次。

核心数学模型

同一个圆的两个坐标

\theta=\omega t+\varphi_0,\qquad x=R\cos\theta,\quad y=R\sin\theta

坐标轴固定在水平圆周平面中，从水平正轴起逆时针为正。

沿切线的速度

\mathbf v=R\omega(-\sin\theta,\cos\theta),\qquad v=R|\omega|

在同一角位置，电机反转改变速度方向，不改变速率。

加速度指向圆心

\mathbf a=-R\omega^2(\cos\theta,\sin\theta),\qquad a_c=R\omega^2=\frac{v^2}{R}

速率恒定，速度矢量仍在转动。在这个实验室参考系中，不需要另加一个向外的加速度。

圆周与投影共用一个周期

T=\frac{2\pi}{|\omega|},\qquad\ddot x=-\omega^2x,\quad\ddot y=-\omega^2y

周期关系要求角速度非零。静止时，实验收起不再变化的时间图。

常见难点

加速度也可以只改变方向

容易误解速率不变就是没有加速度。

正确理解比较相邻两处速度箭头，长度相同，差矢量仍指向内侧。

投影是坐标，不是屏幕位置

容易误解转动相机就改变了简谐规律。

正确理解图表使用固定的实验室坐标轴，透视只改变画面，不改变坐标规律。

动手实验

01
观察四分之一圈
暂停后拖动回放，走过四分之一圈。
你会看到： 一路坐标经过零，另一路同时到达极值。
02
速率相同，弯曲程度不同
比较“小圈快转”和“大圈，同样速率”。
你会看到： 两者速率相同，小圈需要三倍的向心加速度。
03
让电机反转
选择“电机反转”，再查看同一角位置。
你会看到： 切向速度反向，加速度仍指向圆心。