非完整约束力学 · 自由运动

Chaplygin 刀刃滑橇

刀刃滑橇不损失能量，转动也能越来越慢吗？ 能。刀刃只禁止接触点横向移动，它给的推力总和刀刃自己的运动方向垂直，不做功。这股推力把转动的能量挪给前进，总动能不变：雪橇越转越慢，最后质心在前、刀刃在后，几乎沿直线滑行。质心正好在刀刃上方时，推力不产生转向力矩，雪橇会一直绕圈。

释放一个三维的刀刃滑橇。可以移动质心、反向发射，或把质心放到刀刃正上方。比较受刀刃约束的弯曲轨迹，和质心自由滑动时的直线路径。

刀刃前向速度 $0$

转向角速度 $0$

机械能 $0$

步状态最大相对能量漂移 $0$

有符号横向约束力 $0$

刀刃横向速度 $0$

几何与初态

改变约束，看运动怎样变化

刀刃至质心的有符号距离

a

0.50\,\mathrm m

绕质心的回转半径

k

0.40\,\mathrm m

刀刃初始前向速度

u_0

-1.00\,\mathrm{m/s}

初始转向角速度

\omega_0

1.50\,\mathrm{rad/s}

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

初始朝向

\theta_0

20.00\,{}^\circ

刀刃可以沿体轴前进，却不能横向移动。金球标出质心位置，不是另外加上的质点。总质量一千克，转动惯量由回转半径决定。底盘和支撑只是示意。

青色描出质心轨迹，金色描出刀刃着地点。灰色虚线表示释放时拿掉刀刃，质心以同样的初速度自由滑行的路径。这条参考轨迹属于另一个实验。

八秒的运动用四阶 Runge–Kutta 积分，再作三次 Hermite 插值。标准设置四千零九十六步，精细设置八千一百九十二步。显示的漂移只检查保存的各步状态，不是严格的误差界；能量守恒本身也不能证明轨迹准确。

滑橇是在平面内运动的理想刚体，只有一个刀刃挡住横向运动。不考虑阻力、刀刃摩擦耗散、离地和翻倒。质量和惯量直接指定，底盘外形只是示意。

先抓重点

\dot x=u\cos\theta,\quad\dot y=u\sin\theta,\quad\dot\theta=\omega,\qquad\dot u=a\omega^2,\quad\dot\omega=-\frac{a u\omega}{k^2+a^2}

坐标给的是刀刃接触点的位置，不是质心。正偏置沿刀刃向前；绕质心的惯量等于质量乘以回转半径的平方。

E=\frac m2\left[u^2+(k^2+a^2)\omega^2\right],\quad N=\frac{m k^2 u\omega}{k^2+a^2},\quad P_N=Nv_{P,\perp}=0

质心可以有横向速度，刀刃却没有。约束力可以不为零，却不做功。

容易误解把控制复原，运动就该撤销；转得慢了，就一定损失了能量。

正确理解看总能量保持不变，两部分之间此消彼长。约束力不做功。