非完整约束力学 · 自由运动

Chaplygin 刀刃滑橇

释放三维刀刃滑橇。移动质心、反向发射，或把质心放在刀刃正上方；比较受约束的弯曲轨迹与自由滑动质心的直线路径。

刀刃前向速度 $0$

转向角速度 $0$

机械能 $0$

步状态最大相对能量漂移 $0$

有符号横向约束力 $0$

刀刃横向速度 $0$

几何与初态

改变约束，看结果。

刀刃至质心的有符号距离

a

0.50\,\mathrm m

绕质心的回转半径

k

0.40\,\mathrm m

刀刃初始前向速度

u_0

-1.00\,\mathrm{m/s}

初始转向角速度

\omega_0

1.50\,\mathrm{rad/s}

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

初始朝向

\theta_0

20.00\,{}^\circ

刀刃可以沿体轴前进，却不能横移。金球标出质心，并非额外添加的点质量。总质量固定为一千克，惯量由回转半径指定；底盘与支撑为示意。

青色跟随质心，金色跟随刀刃接触位置。灰色虚线是释放时移除刀刃后、沿同一初始质心速度自由滑行的参考；它属于另一个实验。

八秒记录采用四阶 Runge–Kutta 与三次 Hermite 插值。标准为四千零九十六步，精细为八千一百九十二步。漂移检查保存的步状态，不是严格误差界；能量守恒本身也不能证明轨迹精度。

平面理想刚体，只有一个刀刃横向约束。不含阻力、刀刃摩擦耗散、离地或倾覆。质量与惯量独立指定，底盘外形为示意。

先抓重点

\dot x=u\cos\theta,\quad\dot y=u\sin\theta,\quad\dot\theta=\omega,\qquad\dot u=a\omega^2,\quad\dot\omega=-\frac{a u\omega}{k^2+a^2}

坐标指刀刃接触位置，并非质心。正偏置沿刀刃向前；质心惯量等于质量乘回转半径的平方。

E=\frac m2\left[u^2+(k^2+a^2)\omega^2\right],\quad N=\frac{m k^2 u\omega}{k^2+a^2},\quad P_N=Nv_{P,\perp}=0

质心可以有横向速度，刀刃却没有。约束力可以非零，同时保持不做功。

容易误解控制复原或转向减弱，一定会撤销运动或消耗能量。

正确理解检查能量总量保持固定、两部分相互交换；约束力不做功。