控制与力学 · 推力上限

小车倒立摆

小车电机能接住要倒的杆，再把小车带回起点吗？ 能，前提是初始倾角不大、电机推力够用。杆向右倒，小车得先向右加速，回到杆底下把它接住。推力同时参考小车的位置和速度，杆站稳后，小车会被慢慢带回起点。需要的推力一旦超过电机上限，杆就倒了。

把三维小车倒立摆歪一点再松手。看反馈控制怎样接住摆杆、把小车拉回原处；电机推力跟不上时，再看平衡怎样被打破。

相对直立的倾角 $0$

杆角速度 $0$

实际小车推力 $0$

请求小车推力 $0$

小车位置 $0$

系统水平动量 $0$

电机有符号做功 $0$

步状态最大功—能残差 $0$

释放与执行器

先稳住它，再找出控制失效的地方

初始倾角

\theta_0

8.00\,{}^\circ

杆初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机关或反馈开

b_{\rm on}

1.00\,

名义响应率

\lambda

2.00\,\mathrm{s^{-1}}

推力上限

F_{\max}

12.00\,\mathrm N

支点至摆球长度

l

1.00\,\mathrm m

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

倾角为正表示向右偏离竖直。拖动下方的金色手柄设定初始倾角，也可以用键盘操作滑块。回放速度是真实速度的四分之一，便于看清响应。

小车质量一千克，质点摆球质量四分之一千克。小车、摆球的大小和杆的粗细都只是示意。导轨是理想的无限长导轨，画面上的导轨端点不是限位器。

全状态线性反馈把线性化系统的四个极点都放在负的名义响应率处。推力超过所选上限就截断。控制只在直立两侧六十度内起作用；直立附近稳定，不代表从大角度也能恢复。

每次模拟八秒物理时间，用四阶 Runge–Kutta 积分八千或一万六千步，再作三次 Hermite 插值。有符号的功和动力学一起积分，显示的残差用来检查保存下来的各步状态。限幅和控制切换会让运动不那么光滑；要判断轨迹精度，请和精细积分对比。

支点理想无摩擦，运动限定在一个平面内，没有碰撞面。倒下的杆可能穿过示意支架继续转。模型不含传感延迟、结构柔性、电损耗、再生电池模型、硬件安全保证和起摆控制。实时回放时，高速转动的飞轮标记可能出现视觉混叠；转角和导出数据仍按物理时间记录。

摆球是理想质点，杆是无质量刚杆，导轨无摩擦、无限长。控制器用局部状态反馈，推力有上限。不模拟起摆、碰撞和传感器噪声，也不含电机的电气模型。

先抓重点

核心问题: 杆向右倒，为什么先要把小车往右推？
一句话直觉: 杆的下端连在小车上，小车水平加速，杆就跟着转。控制器同时盯着小车的位置和速度，让小车回到原处。

核心数学模型

非线性小车倒立摆动力学

(M+m)\ddot x+ml\cos\theta\,\ddot\theta-ml\sin\theta\,\dot\theta^2=F,\qquad l\ddot\theta+\cos\theta\,\ddot x=g\sin\theta

倾角从竖直向上的位置算起，向右为正。杆没有质量，摆球是质点。

直立附近的全状态反馈

F_d=k_xx+k_v\dot x+k_\theta\theta+k_\omega\dot\theta,\qquad F=\operatorname{clip}(F_d,-F_{\max},F_{\max})

改变杆长或响应率，增益就重新计算，让线性化、未饱和系统的四个极点都落在负的响应率上。所有增益的正负号都按上面的倾角约定来取。

机械能与电机做功

E=\tfrac12(M+m)\dot x^2+ml\dot x\dot\theta\cos\theta+\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(\cos\theta-1),\qquad\dot E=F\dot x

小车和杆之间的耦合项不能省。势能以直立为零点；拿来和电机做功比较的是能量的变化，零点怎么取不影响结果。

常见难点

反馈不是万能的

容易误解只要打开反馈，不管从什么状态松手都能救回来。

正确理解比较几个上限预设。这些控制器只在直立附近起作用，驱动能力也有限，不是起摆算法。

杆稳住了，小车也要控制

容易误解只反馈角度，小车自己就会回到原处。

正确理解推力的大小同时取决于小车的位置、速度，以及杆的倾角和角速度。

动手实验

01
倾斜后松手
拖动金色手柄设定初始倾角，再点播放。
你会看到： 看摆杆怎么动，再看控制器要求电机朝哪个方向、出多大的驱动。
02
找到电机的极限
选“推力不足”，再调高推力上限。
你会看到： 留意从哪一刻起，电机实际给出的驱动跟不上控制器的要求。
03
比较能量和电机做功
把回放拉到最后，导出记录，再比较标准积分和精细积分。
你会看到： 电机做的功可正可负，机械能的变化正好等于它。

一手理论资料：MIT · Cart-Pole · ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II