控制与力学 · 推力上限

小车倒立摆

倾斜三维倒立摆后释放。观察反馈怎样接住摆杆、让小车回到原处，以及电机推力不足时平衡怎样失效。

相对直立的倾角 $0$

杆角速度 $0$

实际小车推力 $0$

请求小车推力 $0$

小车位置 $0$

系统水平动量 $0$

电机有符号做功 $0$

步状态最大功—能残差 $0$

释放与执行器

稳住它，再找到极限。

初始倾角

\theta_0

8.00\,{}^\circ

杆初始角速度

\omega_0

0.00\,\mathrm{rad/s}

电机关或反馈开

b_{\rm on}

1.00\,

名义响应率

\lambda

2.00\,\mathrm{s^{-1}}

推力上限

F_{\max}

12.00\,\mathrm N

支点至摆球长度

l

1.00\,\mathrm m

积分：标准或精细

b_{\rm fine}

0.00\,

正倾角从竖直方向向右倾斜。下方金色手柄编辑初始倾角，滑块也支持键盘。回放采用四分之一物理速度，便于看清响应。

小车质量为一千克，质点摆球为四分之一千克。车体、摆球大小和杆厚均为示意。导轨理想无限长，画面中导轨的端点不是限位器。

全状态线性反馈将四个局部极点放在负名义响应率处，推力按所选上限截断。控制只在直立两侧六十度内工作；局部稳定不保证大角度恢复。

八个物理秒，四阶 Runge–Kutta，八千或一万六千步，三次 Hermite 插值。有符号做功与动力学同步积分，残差检查保存的步状态。限幅和控制切换会降低光滑性，轨迹精度需对比精细积分。

采用理想无摩擦支点、指定平面约束，没有碰撞面。失稳杆可以穿过示意支架旋转。不含传感延迟、结构柔性、电损耗、再生电池模型、硬件安全保证或起摆控制。飞轮标记高速时可能出现视觉混叠；转角和导出数据保留物理时间。

理想质点摆球、无质量刚杆与无摩擦无限长导轨。采用局部状态反馈与推力限幅；不含起摆、碰撞、传感噪声或电机电气模型。

先抓重点

核心问题: 为什么向右倾斜，首先需要向右推动？
一句话直觉: 底座的水平加速度通过约束改变杆的转动。控制器还跟踪小车位置和速度，让底座归位。

核心数学模型

非线性小车倒立摆动力学

(M+m)\ddot x+ml\cos\theta\,\ddot\theta-ml\sin\theta\,\dot\theta^2=F,\qquad l\ddot\theta+\cos\theta\,\ddot x=g\sin\theta

倾角从直立向右计量。杆无质量，摆球为质点。

局部全状态控制

F_d=k_xx+k_v\dot x+k_\theta\theta+k_\omega\dot\theta,\qquad F=\operatorname{clip}(F_d,-F_{\max},F_{\max})

增益随所选杆长和响应率重新计算，把未饱和局部系统的四个极点放在负响应率处。所有增益符号都依照这里的直立角度约定。

机械功核对

E=\tfrac12(M+m)\dot x^2+ml\dot x\dot\theta\cos\theta+\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(\cos\theta-1),\qquad\dot E=F\dot x

耦合项不可省略。直立势能取零；核对的是能量变化与电机有符号做功，不是任意的能量零点。

常见难点

反馈并非无限强

容易误解开启反馈就一定能从任意初态恢复。

正确理解比较上限预设。这些是驱动能力有限的局部平衡控制器，不是起摆算法。

稳杆仍需要控制底座

容易误解只反馈角度，小车也会自动归位。

正确理解推力控制同时使用小车位置、速度以及杆倾角、角速度。

动手实验

01
释放
拖动金色初始倾角手柄，再播放。
应该观察到： 观察摆杆与有符号驱动请求。
02
寻找极限
选择推力不足，再提高推力上限。
应该观察到： 寻找请求驱动和实际驱动分离的时刻。
03
核对能量
到达回放终点，导出记录，并比较标准与精细积分。
应该观察到： 机械能的变化跟随电机有符号做功。

一手理论资料：MIT · Cart-Pole · ETH Zürich · 1D reaction-wheel model, Section II