M092 · 流体力学

浮力与稳心稳定性

漂浮的船体也会倾覆吗？ 会。漂浮只要求重力等于浮力，不翻还要求更多：船一倾斜，浮力和重力要形成把它扶正的力矩。能不能扶正，取决于水下部分的形状和压载放得多高。小角度能自己回正的船，倾角大了，这个力矩可能反过来，把船掀翻。

在密闭箱形船体或外扩棱柱船体里移动配重。对照精确的排水几何、有限倾角下的复原曲线和初稳性，再用采集到的小角度力矩推断初稳心高度。

总质量 $\text{就绪}$

排水体积 $\text{就绪}$

重力 $\text{就绪}$

浮力 $\text{就绪}$

有符号复原臂 $\text{就绪}$

有符号复原力矩 $\text{就绪}$

初稳心高度 $\text{就绪}$

质心横向位置 $\text{就绪}$

质量与完全浸没排水质量之比 $\text{就绪}$

由原始力矩推断的初稳心高度 $\text{就绪}$

小角度拟合残差 $\text{就绪}$

记录测点数 $\text{就绪}$

力或体积平衡残差 $\text{就绪}$

模型状态 $\text{就绪}$

浮体稳定与浅水流动

配重该放在哪里？

船体甲板宽度

B

4.00\,m

船体高度

D

2.00\,m

棱柱长度

L

8.00\,m

底宽与甲板宽比例

f

1.00\,

密封船体平均密度

\rho_H

350.00\,kg/m^3

液体密度

\rho

1000.00\,kg/m^3

配重质量

m_b

2500.00\,kg

配重横向比例

\xi_b

0.00\,

配重高度比例

\zeta_b

0.25\,

顺时针横倾

\theta

12.00\,{}^\circ

力矩扰动倍率

\epsilon

0.00\,

船体是密闭的均匀密度棱柱，截面内有一个可移动的点配重。横向向右为正，高度从龙骨向上量，顺时针横倾为正。每设定一个横倾角，就求出对应的升沉平衡，不模拟横摇过程。橙色是质心，蓝色是排水体积的中心。蓝色浸没网格表示排开的水的体积，并不是密闭船体里进了水。

直立时的稳心高度只描述小角度的初稳性。完整曲线由水线切割船体截面得到，大角度横倾时可能变号。配重偏离中线时，船体直立也会受到力矩；初稳心高度为正，既不代表船能直立平衡，也不代表大角度下安全。船体排水能力不够时，画面显示完全浸没的候选状态，并禁止采集。

采集时在四度以内设定十七个横倾角。对原始力矩作带偏置项的三次拟合，估计初始斜率；质量和重力另外已知。斜率取自有限角度，带有截断误差，大小与船体形状有关。扰动可以复现，上限由所选倍率按牛米给出。结果不给置信区间，也没有外部校准。

船体是静水中的水密棱柱。横倾角由外部给定，船体停在重力与浮力平衡的吃水深度。不模拟横摇、进水和纵倾，也不认证船舶安全。

先抓重点

核心问题: 漂浮就意味着稳定吗？
一句话直觉: 把完整的几何模型、它的小角度近似和单独采集的记录放在一起比较。

核心数学模型

竖向力平衡

\rho g\nabla=mg

要漂浮平衡，船体必须排开足够多的水；超载的密闭船体做不到这一点。

排水体积的中心

\begin{aligned}\nabla&=LA_s\\\boldsymbol r_B&=\frac{1}{A_s}\int_{A_s}\boldsymbol r\,dA\end{aligned}

把倾斜后的截面在水线处切开，对水下部分积分，求出面积和形心。

任意横倾角下的复原力矩

\begin{aligned}GZ&=x_B-x_G\\M_R&=mg\,GZ\end{aligned}

对漂浮船体来说，正力矩抵抗顺时针横倾；复原臂为负时，横倾反而加剧。

初稳心高度

\begin{aligned}BM&=\frac{I_{\mathrm{wp}}}{\nabla}\\GM&=KB+BM-KG\end{aligned}

水线面的二次矩对其形心计算。这个高度只描述小角度，代替不了有限倾角曲线。

由原始数据求初始斜率

\begin{aligned}\frac{M_i}{mg}&\simeq c+a\theta_i+b\theta_i^2+d\theta_i^3\\\widehat{GM}&=a\end{aligned}

角度用弧度。在四度范围内，用原始力矩和另外已知的质量，拟合一个带自由偏置的三次式。

常见难点

参考曲线不是测量

容易误解屏幕上显示的参考曲线就是实测数据。

正确理解只有你记录下来的传感器读数才算观测，改动配置会清空它们。扰动是确定性的，不能拿来做统计认证。

动手实验

01
降低配重
比较“低位配重”和“高位配重，失稳”两个预设。
你会看到： 两者都能浮起来，直立附近复原曲线的斜率却一正一负。
02
看初始斜率以外
把金色横倾选择器拖到大角度。
你会看到： 完整几何算出的曲线，逐渐偏离小角度正弦近似。
03
横向移动配重
选择偏置配重，查看零倾角时的情况。
你会看到： 初稳性为正，直立时仍可能受到不为零的力矩。
04
先测量，再推断
采集小角度扫描，加上扰动，再导出 CSV。
你会看到： 斜率估计来自原始力矩；清空记录，估计也随之消失。