M049 · 停止动力学

制动距离与功率限制

反应时间、轮胎抓地力和刹车功率，各自怎样影响停车距离？ 反应时间里，车按原速往前走。之后的制动力受三者中最小的那个限制：轮胎抓得住多少、刹车推得动多少、刹车功率除以车速。功率限制在高速时最紧。下坡够陡时，如果重力沿坡的分量不小于制动力上限，车就永远停不下来。

把停车过程分成反应段和制动段，比较坡道上附着力、制动力和制动功率各自的限制，再检查原始传感器数据能否对上冲量和功。下坡时制动力不够，实验会如实显示车停不下来。

反应段行程 $\text{就绪}$

实际制动段行程 $\text{就绪}$

附着及制动力上限 $\text{就绪}$

功率转恒力限制速度 $\text{就绪}$

选中时刻限制机制 $\text{就绪}$

半步长终点行程差 $\text{就绪}$

终点状态 $\text{就绪}$

选中时间 $\text{就绪}$

选中行程 $\text{就绪}$

选中速度 $\text{就绪}$

选中阻滞力 $\text{就绪}$

实际达到的峰值阻滞力 $\text{就绪}$

所选制动或缓冲吸收的功 $\text{就绪}$

终点动能 $\text{就绪}$

实际观测时长 $\text{就绪}$

实际总行程 $\text{就绪}$

模型动量平衡残差 $\text{就绪}$

模型能量平衡残差 $\text{就绪}$

原始积分净冲量 $\text{就绪}$

原始动量定理残差 $\text{就绪}$

原始积分净功 $\text{就绪}$

原始动能定理残差 $\text{就绪}$

采集测点数 $\text{就绪}$

用冲量和功分析停车

什么真正限制停车？

校准质量

m

1400.00\,kg

初始前进速度

v_0

25.00\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}

反应延迟

t_r

1.00\,s

附着系数

\mu

0.75\,

制动力上限

B_{\max}

7000.00\,N

制动耗散功率上限

P_{\max}

100.00\,kW

阻力面积

C_D A

0.65\,\mathrm{m^2}

下坡角；上坡为负

\theta

0.00\,{}^\circ

最长观测时间

T_{\mathrm{obs}}

60.00\,s

积分时间步长

\Delta t

0.020\,\mathrm s

选中时间比例

t/t_{\mathrm{end}}

0.40\,

传感器采样率

f_s

20.00\,Hz

传感器噪声增益

\eta

0.00\,

车辆当作质点，在坡度不变的直路上行驶，角度为正表示下坡。反应时间里，车只在重力和阻力作用下滑行，没有定速巡航，也没有驱动力。

制动有三个上限：轮胎附着、执行器的力，以及制动器能耗散的功率。附着恒定，代表理想的抓地控制。模型忽略轮胎滑移、载荷转移、车轮惯量、滚动阻力、制动衰退和风。

四阶 Runge–Kutta 积分在反应结束的时刻分段，并在最后一步内找出速度为零的时刻。模型在车第一次静止时结束，不计算之后的倒溜。如果时间窗口结束时车还在动，就不算已经停车。

沿坡向下的重力分量一旦超过低速时的最大制动力，模型里的车就永远停不下来。制动器耗散动能的同时，重力还可能补充动能。整步长和半步长的行程差只是粗略检查，不是认证过的误差界。

采集按选定的采样率，记录实际走完的整个时间窗口。噪声大小是噪声增益乘以一毫米、百分之一米每秒和一牛。校准过的时间和质量视为精确，原始值从不截断。

原始冲量和功只用测得的力、速度和时间计算。力突然跳变或出现窄峰时，采样可能漏掉一部分面积。模型的数值是否吻合，和采集记录是否吻合，分开显示。

动力学是理想化的，传感器是模拟的；停车条件和近似的适用范围都明确写出。

先抓重点

核心问题: 什么真正限制停车？
一句话直觉: 受功率限制的制动在高速时最弱；车速降下来，制动力随之变大，直到碰上力的上限。

核心数学模型

制动力的三个上限

\begin{aligned}B_0&=\min(B_{\max},\mu mg\cos\theta)\\B(v)&=\min(B_0,P_{\max}/v),\quad v>0\end{aligned}

速度为零时，限制取力的上限。功率设定限制了制动把动能变成热的快慢。

坡道上的运动方程

\begin{aligned}\dot x&=v\\m\dot v&=mg\sin\theta-B(v)-\frac12\rho C_D A v^2\end{aligned}

正角表示下坡。反应期间没有制动，但空气阻力和坡度仍在起作用。

反应及制动距离

\begin{aligned}d_{\mathrm{total}}&=d_{\mathrm{reaction}}+d_{\mathrm{brake}}\\d_{\mathrm{reaction}}&=v_0t_r,\quad d_{\mathrm{brake}}=\frac{mv_0^2}{2B_0}\end{aligned}

第二行是基准情况：平路、无阻力、制动力恒定。制动受功率限制或路面有坡时，不能直接套用。

每个力做的功

\frac m2[v(t)^2-v_0^2]=W_{\mathrm{grade}}-W_B-W_D

重力沿坡做的功可正可负；第一次停住之前，制动和阻力只吸收能量。陡下坡时，动能不一定减小。

功率受限时的解析解

\begin{aligned}v_c&=P_{\max}/B_0\\t_b&=\frac{m(v_0^2-v_c^2)}{2P_{\max}}+\frac{mv_c}{B_0}\\d_b&=\frac{m(v_0^3-v_c^3)}{3P_{\max}}+\frac{mv_c^2}{2B_0}\end{aligned}

初速度高于转换速度、路面无坡、没有阻力时，先是受功率限制的一段，再接上恒力制动停下。原始传感器积分另外单独检查。

常见难点

理想模型不是安全认证

容易误解理想模型里停得住，真实的缓冲器或路面距离就一定安全。

正确理解这是教学模型，力的规律是给定的，传感器是模拟的。真实材料、轮胎和驾驶者之间的差异，都要靠实测来验证。

动手实验

01
把反应时间分开看
从“恒力基准”预设开始，改变反应延迟。
你会看到： 反应期间走的距离，和开始制动后走的距离是两回事。
02
找出哪个限制在起作用
对比“干路参考”“低附着”和“低制动功率”三个预设。
你会看到： 力的曲线和当前限制读数标出了从功率限制转到力限制的位置。
03
试试坡道
试试“下坡无法停车”和“上坡滑行至静止”两个预设。
你会看到： 下坡时，即使制动在耗能，重力也能让车一直走下去。上坡时，模型在车第一次停住时结束，不算之后的倒溜。
04
比较模型及传感器
展开“传感器与诊断”采集记录；到“质量、阻力与数值设置”改变采样、噪声，并把积分步长减半。
你会看到： 求解器准不准，和传感器积分准不准，是两个分开的问题。