M050 · 每次回弹都留下证据

弹跳球与恢复系数

少掉的回弹高度去了哪里？ 每撞一次地，都会损失一部分能量。恢复系数是反弹速度与撞击速度之比，球能弹多高，又跟速度平方成正比。这样算下来，每次的最高点都是上一次乘以恢复系数的平方：恢复系数为 0.9，每弹一次高度只剩 81%。

松开小球，慢放落地的瞬间，比较弹性、有损和不回弹三种碰撞。记录顶点高度反推恢复系数，再看理想模型怎样在有限时间内弹无限多次。

运动状态 $\text{Ready}$

球底离地高度 $\text{Ready}$

向上速度 $\text{Ready}$

碰撞转移的能量 $\text{Ready}$

理想塌缩时间 $\text{Ready}$

记录高度反求恢复系数 $\text{Ready}$

能量守恒残差 $\text{Ready}$

已记录顶点数 $\text{Ready}$

释放小球，测量它的运动

先预测，再松手。

离地释放高度

H_0

2.50\,m

法向恢复系数

e

0.75\,

小球质量

m

0.50\,kg

重力加速度

g

9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

回放时长

T

6.00\,s

顶点高度有界误差

\epsilon

0.00\,m

传感器误差种子

s

17.00\,

高度指球底到固定水平地面的距离。重力均匀。每次碰撞不占时间，法向速度按恒定的恢复系数反向。小球损失的能量传给地面，以及模型不细算的内部振动。模型不考虑有限的峰值力、形变、旋转、阻力和地面运动。

金色是小球，蓝色标出弹簧自然端或地面。主场景里的长度都按同一真实比例，球半径 0.14 米。淡色小球是模型算出的先前位置，不是测量值。跟随视角随小球移动，全景显示整个高度范围。画面不会自动播放。

记录用理想的顶点触发器，时间戳精确，高度带有有上限、可复现的误差。它记录所设的整个回放时段，与当前回放到哪里无关。CSV 只含顶点序号、时间和带误差的高度。回放会保留记录，改参数就会清空。拟合只读取记录的高度和给定的常数。这里的误差不是校准过的置信度。

恢复系数严格介于零和一之间时，各次飞行时间构成等比数列，无限多次碰撞会在有限时间内完成。理想模型之后让小球静止，这并不是对真实微观接触的预测。只列出前 100 次能分辨的碰撞。高度拟合舍弃小于五倍误差界的相邻高度对；两个坐标都有误差时，拟合会有偏差。

碰撞是瞬时的，地面固定不动。理想模型在有限时间内弹无限多次，这已经到了模型的边界。

先抓重点

核心问题: 少掉的回弹高度去了哪里？
一句话直觉: 回弹前后的速度之比，等于相邻高度之比的平方根。

核心数学模型

瞬时碰撞

v^+=-e v^-,\qquad J=m(v^+-v^-)

地面受到方向相反的冲量；单看小球，动量并不守恒。

每次回弹的顶点高度与能量

H_n=e^{2n}H_0,\qquad E_n=mgH_n

两次碰撞之间，假设重力均匀、没有空气阻力。

有限时间内的无限次回弹

t_*=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}+\frac{2e\sqrt{2gH_0}}{g(1-e)}

恢复系数为零时，第一次落地就停下；恢复系数为一时，回弹永远不会停。

从记录高度反推恢复系数

\widehat e=\sqrt{\frac{\sum_n H_nH_{n+1}}{\sum_n H_n^2}}

把分辨得出的相邻记录高度配成对，做过原点的直线拟合。一对高度都带噪声，估计可能有偏差。

常见难点

地面从外部推球

容易误解小球碰固定地面时自身动量守恒。

正确理解地面给小球一个外冲量，小球的动量因此改变。碰撞时转移走的能量要单独算一项。

动手实验

01
设置初态
拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。
你会看到： 装置与预测运动一起更新。
02
跟随事件
播放、暂停，跳到下一个关键事件。
你会看到： 高度连续变化，碰撞却能让速度瞬间跳变。
03
追踪能量
在转折点之间拖动时间轴。
你会看到： 弹性势能、动能、重力势能和转移的能量，加起来始终是同一个总量。
04
记录一次实验
记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。
你会看到： 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

核心数学模型

瞬时碰撞

每次回弹的顶点高度与能量

有限时间内的无限次回弹

从记录高度反推恢复系数

常见难点

地面从外部推球

动手实验

设置初态

跟随事件

追踪能量

记录一次实验