M050 · 每次回弹都留下证据

弹跳球与恢复系数

松开小球，慢看落地，比较弹性、有损和不回弹碰撞。记录顶点高度反求恢复系数，探索理想模型中有限时间内的无限次碰撞。

运动状态 $\text{Ready}$

球底离地高度 $\text{Ready}$

向上速度 $\text{Ready}$

碰撞转移的能量 $\text{Ready}$

理想塌缩时间 $\text{Ready}$

记录高度反求恢复系数 $\text{Ready}$

能量账本残差 $\text{Ready}$

已记录顶点数 $\text{Ready}$

SET / RELEASE / MEASURE

先预测，再松手。

离地释放高度

H_0

2.50\,m

法向恢复系数

e

0.75\,

小球质量

m

0.50\,kg

重力加速度

g

9.81\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}

回放时长

T

6.00\,s

顶点高度有界误差

\epsilon

0.00\,m

传感器误差种子

s

17.00\,

高度为球底到固定水平地面的间隙。重力均匀，碰撞持续时间为零，恒定恢复系数决定法向速度反转。小球失去的能量转移到地面与未分辨内部模式；不模拟有限峰值力、形变、旋转、阻力或地面运动。

金色为小球，蓝色标记弹簧自然端或地面。主场景全部长度使用统一比例，球半径为 0.14 米。淡色小球为之前的模型位置，不是测量值。跟随视角随小球移动，全景显示完整高度范围。运动不会自动播放。

记录使用理想顶点触发器，时间戳精确，高度叠加确定性有界误差。记录覆盖所设回放时段，与当前回放时钟无关。CSV 只含顶点序号、时间与含误差高度。回放保留记录，参数改变清空记录。拟合只读取记录高度与给定常数；误差不是校准后的置信度。

恢复系数严格介于零与一时，飞行间隔构成等比数列，无限次碰撞会在有限时间聚集。理想延拓取静止，这不是对真实微观接触的预测。只列出前 100 次可分辨碰撞。高度拟合舍弃小于五倍误差界的相邻高度对；两坐标都有误差时会有偏。

固定地面的瞬时碰撞；理想塌缩属于模型边界。

先抓重点

核心问题: 少掉的回弹高度去了哪里？
一句话直觉: 速度之比，变成了高度之比的平方根。

核心数学模型

瞬时碰撞

v^+=-e v^-,\qquad J=m(v^+-v^-)

地面获得相反冲量；小球自身不守恒动量。

高度与能量序列

H_n=e^{2n}H_0,\qquad E_n=mgH_n

碰撞之间假设重力均匀且没有阻力。

有限聚集时间

t_*=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}+\frac{2e\sqrt{2gH_0}}{g(1-e)}

恢复系数为零时第一次落地即结束运动；为一时永不塌缩。

记录高度反推

\widehat e=\sqrt{\frac{\sum_n H_nH_{n+1}}{\sum_n H_n^2}}

用已分辨的相邻记录高度进行过原点拟合；两坐标噪声会造成偏差。

常见难点

读懂模型边界

容易误解小球碰固定地面时自身动量守恒。

正确理解地面提供外冲量；把转移走的能量单列。

动手实验

01
设置初态
拖动金色手柄，或用键盘操作对应滑块。
应该观察到： 装置与预测运动一起更新。
02
跟随事件
播放、暂停，跳到下一个关键事件。
应该观察到： 高度连续，瞬时碰撞却能使速度发生跳变。
03
检查能量账本
在转折点之间移动时间轴。
应该观察到： 弹性、动能、重力与转移能量相互对应。
04
记录一次实验
记录顶点高度，导出 CSV，再比较反推参数。
应该观察到： 回放保留同一份记录；改变物理参数才会清空。

核心数学模型

瞬时碰撞

高度与能量序列

有限聚集时间

记录高度反推

常见难点

读懂模型边界

动手实验

设置初态

跟随事件

检查能量账本

记录一次实验