M038 · 回球、跟球与摩擦偏转

带旋转的台球碰撞

母球为什么会在撞球后倒退？ 碰撞能把大部分前向运动传给目标球，却留下旋转。随后，台布摩擦把反旋变成回退，把向前的旋转变成跟进。球间摩擦还会带偏目标球并交换自旋，让它的出射方向偏离两球球心连线。

调节击点偏移、球间摩擦和库边恢复系数，观察回球、跟球、摩擦偏转、旋转交换，以及从滑动到纯滚动的转换。

母球沿击球方向的速度 $-0.163\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

母球向前的轮缘速度 $-0.163\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

母球最低点水平速率 $0\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

首次球间碰撞的模型偏转角 $-1.2\,\mathrm{{}^{\circ}}$

模型假设

两颗均匀刚性球质量各为零点一七千克、半径零点零四米，教学台长一点四米、宽零点八米，没有袋口。球杆用给定水平冲量代替，速率控制的是击球后的球心速率，不是球杆速率；击点偏移决定角冲量，不计算球杆挠曲、皮头柔性、侧偏或滑杆。球间碰撞用法向牛顿恢复系数和三维切向库仑冲量，切向冲量在相对滑移归零时停止增加；摩擦系数为常数，没有拟合真实球面的速度依赖。台布只在滑动接触时施加摩擦；包含离台后的重力飞行与完全非弹性落回。理想点接触没有滚动阻力和扭转阻力，因此纯滚动与竖直自旋可以保持。库边是刚性竖直墙，不是标定过的橡胶鼻口；同时发生的瞬时冲量按顺序求解；贴库后的持续接触采用短步长单侧接触求解，步长和收敛容差随记录导出。忽略有限接触时间、形变和声音。轨迹和记录都是模型计算。首次偏转角取第一次球间碰撞刚结束、后续台布和库边作用之前，目标球速度相对两球球心连线的角度。

先抓重点

核心问题: 为什么母球撞上另一颗球后，有时会往回走？
一句话直觉: 球心的速度与最低点的速度不同。台布摩擦响应的是最低点相对台布的滑动。

核心数学模型

偏心冲量产生旋转

\begin{aligned}I&=\tfrac25mR^2\\I\omega_y&=bJ,\qquad I\omega_z=-aJ\end{aligned}

初始击球方向取水平前方。高度和侧向偏移是长度，滑块显示它们与球半径的比；击球后球心的速率直接由控制项给定。

看与表面接触的那个质点

\boldsymbol v_c=\boldsymbol v+\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r_c

接触点速度同时包含平移和旋转。保持台布接触时，它的水平分量决定动摩擦方向；短暂离台时没有台布摩擦。

一次碰撞不能把相对滑移反向

\begin{aligned}J_n&=\tfrac12m(1+e_b)v_{\rm app}\\J_t&=\min\!\left(\mu_bJ_n,\tfrac m7|\boldsymbol u_t|\right)\end{aligned}

这里两球质量、半径相同且均匀。切向冲量阻碍球面相对滑移，到滑移归零时停止增加；方向保留三维分量。

一个无初始旋转的基准

t_r=\frac{2v_0}{7\mu_sg},\qquad v_r=\frac57v_0

单颗球没有初始旋转，在水平台布上滑行且途中不碰撞时，会在这个时刻进入纯滚动。已有旋转或途中碰撞都会改变结果。

常见难点

侧旋不等于向前滚动

容易误解只要看见自转，球就一定滚得更快。

正确理解理想点接触中，绕竖直轴旋转不会消除底点滑移；它仍能改变球间碰撞和碰库后的运动。

碰库时有外界参与

容易误解整杆过程中，两球的总动量都应该保持不变。

正确理解台布摩擦、离台时的重力和库边冲量都与外界交换动量。导出记录把它们计入外部收支；单次孤立球间冲量则保持两球总动量。

动手实验

01
比较回球与跟球
先选“撞球后回退”，再选“撞球后继续跟进”。
你会看到： 两者都在碰撞时传递前向运动；留下的旋转与随后的台布摩擦，让母球走向不同。
02
关掉摩擦偏转
比较“侧旋带偏目标球”与“移除球间摩擦”。
你会看到： 初始击球和目标球位置相同，第一次碰撞后的出射角却不同。
03
让侧旋遇到库边
选择“带着侧旋碰库边”，调节库边恢复系数。
你会看到： 法向反弹随之改变。库边摩擦还会交换切向运动和自旋；这里计算的是理想竖直墙。