M018 · 什么条件下能够沿圆周运动

倾斜弯道与摩擦可行域

这个倾斜弯道允许哪些速度而不侧滑？ 恰好一个速度下，支持力的向内分量就能完成转弯，无需侧向摩擦。更慢时要靠向上坡的摩擦，更快时要靠向下坡的摩擦。把所需摩擦与随支持力变化的上限比较，就能求出可行区间；超出区间，低速起初向内下滑，高速起初向外上滑。

抬高弯道外侧，拖动车辆改变半径。找出无需摩擦的速度、圆周运动可行区间，以及超出摩擦能力后的初始侧滑方向。

无需摩擦的速度 $12.7\,\mathrm{m\,s^{-1}}$

圆周运动可行速度 $\begin{gathered}v_{\min}=5.86\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\v_{\max}=18.3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{gathered}$

支持力与重力之比 $1.1$

摩擦余量 $0.35$

模型假设

这里计算锥形环路上的理想质点受力，不能用于道路设计或驾驶建议。半径量到道路中心线，外缘抬高，摩擦力沿坡向外上方为正。车体放大两倍，受力作用于中心线参考点；忽略车身高度、轮载、力矩平衡、侧翻、轮胎及悬挂动力学。支持力与实际摩擦力首尾相接，浅绿色箭头是二者之和，并非第三个接触力。所有力箭头与库仑锥使用同一线性自适应比例。静摩擦与刚开始滑动时的摩擦采用同一个理想系数。超出摩擦限值后暂停圆周预览，红箭头只表示初始沿坡加速度，不积分后续侧滑轨迹；此时回放仅用于查看试算位置。速度上界无穷大只是理想定律的数学分支，不代表真实车辆能力。调整参数时保留角位置并重新计时，不计算调整过程。

先抓重点

核心问题: 这条理想路面允许哪些速度，而不发生侧滑？
一句话直觉: 所需摩擦不超过随支持力变化的上限，速度才可行。过慢与过快，初始侧滑方向相反。

核心数学模型

先定义接触方向

a_c=v^2/R,\quad N=m(g\cos\beta+a_c\sin\beta),\quad f_{\rm req}=m(g\sin\beta-a_c\cos\beta)

外缘为上坡方向；摩擦向外上坡为正，支持力向内上方。所有力对应道路中心线上的质点。

不需要摩擦的速度

v_0=\sqrt{Rg\tan\beta},\qquad |f_{\rm req}|\le\mu N

接触锥的半角为摩擦系数的反正切。支持力与平移后的摩擦力首尾相接，使用同一个线性比例。

下界与有限上界

v_{\min}^2=Rg\max\!\left(0,\frac{\sin\beta-\mu\cos\beta}{\cos\beta+\mu\sin\beta}\right),\qquad v_{\max}^2=Rg\frac{\sin\beta+\mu\cos\beta}{\cos\beta-\mu\sin\beta}

上界公式只适用于分母为正；否则理想库仑模型没有有限上界，不能解释为真实车辆的速度能力。

超过摩擦能力以后

f=\operatorname{clip}(f_{\rm req},-\mu N,\mu N),\qquad \ddot s=(f-f_{\rm req})/m

沿坡坐标向外上坡为正。这是沿坡速度为零瞬间的加速度，静摩擦与初始滑动摩擦共用同一个理想系数。预览暂停，不计算后续侧滑轨迹。

常见难点

摩擦可以向两个方向

容易误解转弯时摩擦总指向圆心。

正确理解低速时，重力倾向让物体沿坡下滑，需要向上坡的摩擦；高速时，所需摩擦则向内下坡。

接触合力不是多出来的力

容易误解支持力、摩擦力和接触合力是三个独立的力。

正确理解浅色箭头只是两个接触力的矢量和，再加一次重力便得到合力。

动手实验

01
找到无需摩擦的转弯
从“不需要侧向摩擦”开始，打开“接触处剖视”。
你会看到： 支持力独自提供竖直支撑和向心加速度。
02
分别越过上下界
比较“太慢，向内下滑”与“太快，向外上滑”。
你会看到： 预览停止，红箭头表示方向相反的初始沿坡加速度。
03
在可行域中移动
点击色图，或用滑块改变倾角与速度。
你会看到： 位置标记、所需摩擦点和解析速度区间一起更新。质量改变力的大小，但在理想速度区间中约掉。