FR02 · 跟着能级走到高能端

异常与格点谱流

格点能谱边缘多出来的费米子会去哪里？ Wilson 项混合手征分量，把格点上多出来的费米子推到高能。裸质量为零时，低动量物种仍然很轻。这能看清调节器怎样处理高能态；计算连续理论的轴异常，还要规定有调节的取极限过程。

给环穿入通量，看能级怎样移动。Wilson 项抬高了多余的低能锥，也会混合两个手征分量；这两件事可以在同一张谱上看见。

所选正能级 $1.99$

所选手征期望 $0.102$

区边缘带隙 $4$

轴对称混合强度 $3.96$

有调节的费米子环

抬高多余的能锥

穿环通量

\Phi/\Phi_0

0.28

Wilson 耦合

r

1

所选动量模式

n

11

扫描会改变外加通量；拖动旋钮即可暂停。

质量与模型范围

裸质量

ma

0

有限环上的自由双分量费米子，时间连续，边界反周期，外加均匀 U(1) 链变量。画面显示瞬时本征态，不演化占据。Wilson 项在有限格距下显式破坏轴对称性；连续理论的轴异常还需要有调节的取极限过程。

环上显示正能 Bloch 旋量。站点相位颜色采用均匀链规范。紫色和蓝色色环显示两个手征分量的权重，各站点相同。

零能级恰好简并时，手征读数约定显示零；该点的本征基并不唯一。

Fujikawa · 2018 · III A

能级移到了哪里

已保存默认能谱

动量 $pa$ · 能量 $Ea$

曲线是无限格点参考，点是当前有限环能谱，金圈标出所选模式。导出保留最近一次保存的能谱。

继续学习：规范场与有效理论

先抓重点

核心问题: 格点能谱边缘多出来的费米子会去哪里？
一句话直觉: Wilson 项在高动量处混合手征分量，抬高了多余的能锥。

核心数学模型

双分量格点 Hamilton 量

\begin{aligned}aH(p)&=\sigma_3\sin(pa)+\sigma_1 B(p),\\B(p)&=ma+r(1-\cos(pa))\end{aligned}

格距作为长度单位，普朗克常数和速度取一。Pauli 矩阵作用于两个分量。这里裸质量取非负值。Wilson 耦合和质量都为零时，正弦在原点与区边缘各有一个零点。

通量移动允许的协变动量

\begin{aligned}p_na&=\frac{2\pi}{N}\left(n+\frac12-\frac{\Phi}{\Phi_0}\right),\\ E_\pm a&=\pm\sqrt{\sin^2(p_na)+B(p_n)^2}\end{aligned}

半个步长对应反周期边界条件。穿入一个通量量子，完整能级集合只会重新排列。画面把动量折回第一 Brillouin 区。

轴对称性为什么改变

\begin{aligned}\gamma_5&=\sigma_3,\\\left\|[aH,\gamma_5]\right\|&=2\left|B(p)\right|\end{aligned}

算符范数衡量此动量处的显式混合。Wilson 耦合为一、质量为零时，它在原点附近很小，在区边缘很大。这个有限格距的对易子与连续理论的异常是不同的量。

常见难点

少一条能级不构成异常证明

容易误解有限画框里少了一条能级，电荷一定不守恒。

正确理解计算始终保留环上的全部动量，矢量 U(1) 电荷守恒。讨论轴异常还要规定占据海的调节方式，以及怎样取连续极限。

动手实验

01
找出两个零点
选择“多出来的费米子”，暂停扫描。比较能谱中央与两端的区边缘。
你会看到： 两处都有低能级。选中的高动量模式就是多出来的物种。
02
抬高多余能锥
连续增大 Wilson 耦合，看区边缘带隙与手征色条。
你会看到： 高动量能级分开，两个分量混合。裸质量为零时，低动量能锥仍然很轻。
03
比较一个通量周期
在零通量和一个通量量子处分别保存、导出能谱，按能量排序后比较。
你会看到： 排序后的能谱相同。模式编号移动一位，符合大规范变换下的等价性。

异常与格点谱流

能级移到了哪里