超导界面 / ANDREEV 反射

电子撞进去，空穴退回来

能量落在能隙里的电子撞上超导体，弹回来的是什么？ 大部分以空穴的身份退回来。能隙内的能量，在超导体深处没有单个电子能占的态。电子只有拉上另一个电子，组成库珀对才进得去；被拉走的电子留下空缺，就是沿原路退回的空穴。界面加一道势垒，转换被挡住，弹回来的是普通电子；能量高过能隙，波就能进入超导体。

把电子波包送向超导界面，看看返回的波为什么换了身份。加一道势垒压低这种转换，再提高入射能量，让波包越过能隙进入超导体。

一维紧束缚 Bogoliubov–de Gennes 模型，s 波配对势是给定的。电子和空穴两条波带是同一根线上波的两个分量，不是两条路径。模型用有限波包和零温平均场，不自洽求解凝聚体的反馈，也不含碰撞和经过标定的电导。

同一个界面，两种返回方式。

普通区中的空穴权重

0

金色平面 · 普通区—超导界面

0

青色 · 电子珊瑚色 · 空穴高度 · 每格点概率

两条波带是同一根线上的 Nambu 分量，不是两条轨迹。高度按概率线性绘制，增益固定。右侧阴影区具有超导配对。

0

01 / 完整碰撞过程

看看返回的是哪一种颜色。

横向为位置；时间自顶部 0 到底部 75。青色为电子权重，珊瑚色为空穴权重。颜色使用固定平方根增益，金线标出界面。

暗 0 → 亮 0.04 每格点

02 / 局部观察

两个分量合起来是一个归一化的态。

青线为每格点电子概率，珊瑚线为空穴概率。两分量使用同一位置坐标，金线标出第 161 格点处的界面。

$j\ \longrightarrow\quad |u_j|^2,\ |v_j|^2$

03 / 各区域的概率

激发去了哪里？

青线为普通区电子，珊瑚线为普通区空穴，紫线为超导区总权重。早期左侧电子包含入射波，只有晚期分离的波包才能解释为反射。

$\tau=Jt/\hbar\ \longrightarrow\quad P$

04 / 独立的体参考

能隙决定哪些波能传播。

无限均匀超导体的解析能带。金线为入射波包中心能量，实际能量存在有限展宽。

$k\ \longrightarrow\quad E/J$

从模型抽样，生成记录

数一数，什么回来了。

0 / 8000

对选定时刻的独立制备做理想分量与位置 Born 读出。这是模拟准粒子快照，不是标定探测器或 Cooper 对计数。种子固定可复现。

记录中普通区空穴比例

\text{—}

95% Wilson 区间 · 采样噪声

\text{—}

模型概率

\text{—}

范数漂移

\text{—}

金色是记录，青色是模型。

三类完整结果：普通区电子、普通区空穴、超导区任一分量。柱状图只由保存的记录计算。

最近 20 条记录 · 导出所有试次

试次	格点	分量

模型、单位与来源

320 格点、开边界。普通区到第 160 格点，配对从 161 开始，单格点势垒位于 160。初始电子中心位于第 81 格点，位置标准差为 12 格点。

位置以格距为单位向右增加。能量以跃迁强度为单位，时间以约化普朗克常数除以跃迁强度为单位。波带是诊断表示，两分量之间的距离仅为示意。

H=\begin{pmatrix}h&\Delta_s\\\Delta_s&-h\end{pmatrix},\quad h_{j,j+1}=-J,\quad h_{160,160}=V

对称分裂演化用精确的格点和互不相交的键旋转，时间步长 0.0125。不重新归一化，不设吸收边界，也不裁切概率。显示的时间段在波从边界明显返回之前结束，同时监测边界附近的权重。配对势由外部给定，不做自洽求解。

$P_{\mathrm{edge}}=0$ · 两端各八个格点内的概率。

来源：Blonder、Tinkham 与 Klapwijk 的界面理论及 Kwant 超导教程中的 BdG 表述。此处晶格波包不是连续 BTK 近似。

先抓重点

核心问题: 能量落在能隙里的电子撞上超导体，弹回来的是什么？
一句话直觉: 配对把电子分量和空穴分量混在一起，能量落在能隙内的激发就可能以空穴返回。

核心数学模型

电子与空穴振幅

i\hbar\partial_t\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=H_{\mathrm{BdG}}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}

这是准粒子的两个分量，不是独立的物理路径。

均匀超导体能谱

E(k)^2=4J^2\cos^2 k+\Delta_s^2

能量落在体能隙内时，超导体深处没有可以传播的准粒子模式。

常见难点

模型能说明什么，不能说明什么

容易误解空穴是界面发出的正电子。

正确理解空穴指相对参考凝聚态空出来的电子占据。Andreev 转换时，电荷与凝聚体交换。

波带不是粒子路径

容易误解隆起的波带是单个粒子的运动路径。

正确理解波带高度表示标明的概率或谱密度；两种颜色画在同一个格点坐标上。

动手实验

01
先做预测
先比较三个预设，再只改变一个连续参数。
你会看到： 势垒压低了转成空穴的比例；能量足够高时，波包就能透射进去。
02
找出原因
从入射时刻拖动到返回波包分离的时刻。
你会看到： 早期左侧的电子权重还包含入射波包，不能当成反射概率。
03
采集数据
累积记录，查看直方图与区间，再导出完整 CSV。
你会看到： 模型曲线单独作为参考；金色直方图只由实际保存的模拟事件堆成。