自由粒子 / 弯曲的干涉

会拐弯的量子波

给波加一张三次相位掩模，最亮的波峰开始转弯，质心却留在原处。反转掩模，弧线也跟着反转；再用一次次位置读出，把图案采集出来。

把空间与时间，铺成一张波图

当前最亮位置

0

金线 · 质心

0

相位色相 · 原点任意0

2\pi

左右：位置后方 → 前方：时间高度：概率振幅

这是一维波的完整演化图。纵深代表时间，不是另一个空间方向。振幅增益固定；可见位置窗口为 −40 到 40。

\tau=8

01 / 到底是什么在移动

峰值，不等于质心。

青线为最亮位置，金线为质心。有限孔径下最亮波瓣可能换位，曲线不会永远保持抛物线。拖动可选择时刻。

$\tau\ \longrightarrow\quad q=x/\ell$

02 / 空间与时间

是干涉，画出了弧线。

横向位置 −40 到 40；时间自顶端 0 到底端 12。固定平方根密度色标。金线为质心，白线为选定时刻。

03 / 位置

沿着这一刻，切开波形。

青线为当前波形，珊瑚虚线为未整形对照。纵轴是各区间的线性概率，最外两格包含窗口外概率。

$q=x/\ell$

04 / 动量

动量权重没变，相位变了。

当前波与零相位掩模对照的动量概率相同；三次相位本身改变空间图案。

纵轴为动量概率密度。显示窗口为 −4 到 4，统计矩使用完整动量谱。

$k=p\ell/\hbar$

从振幅到证据

一次读出，一个位置。

0 / 8000

每个试次都是演化到选定时刻的新制备。按位置网格 Born 概率抽样，保留全部试次，种子固定可复现。下方区间仅含采样噪声；位置记录不测量动量或相位。

右半轴记录比例

\text{—}

95% Wilson 区间

\text{—}

右半轴模型概率

\text{—}

模型动量展宽

\text{—}

让位置记录，自己拼出图案。

金柱为记录频率，青线为模型概率。位置区间从 −40 到 40；最左、最右两格收纳窗口之外的全部读出。

最近 20 条记录 · 导出全部试次

试次	$q=x/\ell$	右半轴

方程、尺度与模型边界

位置用自由选择的长度单位表示，动量与时间单位由此确定。位置正向朝右；没有拟合实验长度、原子质量或温度。

q=x/\ell,\quad k=p\ell/\hbar,\quad \tau=\hbar t/(m\ell^2)

i\partial_\tau\psi=-\tfrac12\partial_q^2\psi,\quad \widetilde\psi(k,\tau)=e^{-ik^2\tau/2}\widetilde\psi(k,0)

\widetilde\psi(k,0)=C\exp(-ak^2+ibk^3/3)

\langle q\rangle=-b/(4a),\quad\langle k\rangle=0

高斯谱包络使 Airy 波包可归一化。最亮的波峰可以弯曲，质心仍保持不动。有限波包不会永远保持形状，最亮的波瓣也可能换位。计算的峰值来自波函数，不用理想焦散曲线代替。

周期区间长度 1024，4096 个傅里叶采样点，间距 0.25。自由演化为幺正谱相位旋转，透镜为位置相位乘法。仅在制备时归一化。画面中的 80 单位窗口是裁剪；模型、矩和位置记录均使用完整网格。

曲面高度为位置密度平方根的七倍。密度颜色在 0.5 饱和；相位色相的整体原点任意。两种显示方式均不改变波函数或记录。

\Delta N=0

P_{\mathrm{edge}}=0

P_{\mathrm{view}}=1

边界概率取完整计算区间最外侧的 10%。离散与截断属于数值误差，不包含在采样噪声区间内。忽略相互作用、环境噪声、探测器模糊及脉冲间的外力。

Voloch-Bloch et al. · Generation of electron Airy beams · Nature (2013)

先抓重点

核心问题: 波峰拐弯，却没有外力。
一句话直觉: 最亮的干涉波峰不是质心。

核心数学模型

自由演化

\widetilde\psi(k,\tau)=e^{-ik^2\tau/2}\widetilde\psi(k,0)

脉冲之间动量概率不变，相对相位持续演化。

有限 Airy 制备

\widetilde\psi(k,0)=C e^{-ak^2+ibk^3/3}

高斯谱包络给出可归一化的有限波包，反转三次相位使它镜像翻转。

常见难点

波的历史不是轨迹

容易误解粒子沿着立体曲面运动。

正确理解纵深编码时间，高度编码概率振幅，每个横向切片是一维波函数。

区分模型与实验

容易误解亮峰弯曲说明粒子受到外力。

正确理解有限高斯谱包络的一维波包，按自由薛定谔方程演化。画面是波函数诊断，不是粒子轨迹或经过标定的电子束仪器。有限孔径会使 Airy 亮峰逐渐减弱并改变形状。

动手实验

01
先做预测
在标出的时刻比较三个预设。
应该观察到： 亮峰弧线随掩模反转，质心线保持笔直。
02
找到原因
拖动时间轴，对比位置和动量分布。
应该观察到： 不同三次相位保持相同动量权重，却产生不同干涉。
03
采集与比较
采集 400 次读出，重复累积、定格并导出记录。
应该观察到： 直方图由这些位置记录计算，增加试次数会减小采样噪声。