两道激波与另一种点爆炸问题

膨胀抛射物带着速度标签

自由膨胀时，未激波物质近似保持各自的速度，所以 $v=r/t$。速度大的物质在更外面。设外包层密度随这个速度的 $n$ 次反比下降；同一段速度范围占据的体积随 $t^3$ 增大，密度就随 $t^{-3}$ 稀释。换成半径坐标，便得到下面的密度式。

其中 $g^n$ 是固定包层归一化的一个有量纲常数。外部环境密度 $\rho_0$ 均匀，气体起初静止。仍使用上游冷、单原子理想气体、非辐射的球对称近似。

怎样让两道激波一直按相同比例膨胀？假设三个面的半径都随 $t^m$ 变化，来流相对速度便都随 $t^{m-1}$ 变化。激波后压力大致等于上游密度乘相对速度平方，要让两侧压力维持同一种相似关系，两股来流的密度比就得固定。把半径代入包层密度，时间指数为 $n-3-mn$；令它为零，得到 $m=(n-3)/n$。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797

两层气体在接触面相遇

在正向与反向激波处，分别使用上一章的跳跃条件，再各自向接触面积分。相遇处必须有相同的接触面位置、压力，以及推动接触面的速度。两侧密度可以不同，物质也不会自由穿过这道分界。

独立球对称Euler积分给出 $n=7$ 时的 $R_{\rm f}/R_{\rm c}=1.18109$ 和 $R_{\rm r}/R_{\rm c}=0.934985$。改取 $n=12$，会得到不同的壳层相对厚度。离线计算还对照原论文表1的舍入范围，并另外积分被扫过物质的质量与能量。

理想接触面附近，某些无量纲量会出现奇异行为。数值积分在声明的正距离处停止，再比较不同容差和截断距离；密度与温度没有被直接插值穿过接触面。

交互画面采用幂律指数为七时的半径、激波紧邻两侧的跳跃值，以及已知未激波区域的密度。独立读者程序会积分激波后的壳层来做科学检查；画面没有从几个边界值臆造完整的内部密度图。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797 · Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

幂律包层不能一直延伸到中心

包层律只描述外部抛射物。若把它延伸到零速度，中心质量就会发散。要构造有限质量的例子，可以在速度 $v_t$ 处连续接上平密度内核。利用 $r=vt$ 和 $dr=t\,dv$，对不同速度的球壳积分，时间因子会恰好消去。

设内核密度为 $Ct^{-3}$，包层为 $Ct^{-3}(v/v_t)^{-n}$。内核与包层的质量项分别含 $1/3$ 与 $1/(n-3)$，动能项则含 $1/5$ 与 $1/(n-5)$。要求 $n>5$，质量和动能才能都有限。由两种积分的比值，得到下面的转折速度。

包层相似解的适用条件是 $R_{\rm r}/t>v_t$，也就是反向激波还没有进入内核。固定年龄的实验会检查短粒子窗口的起点和终点。环境密度继续升高，最终可能破坏这个条件；那时应拒绝输入，而不是沿用包层公式继续画。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797 · Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

保持年龄，先做一个比例预测

对 $n=7$，能量、质量与年龄不变时，半径随 $\rho_0^{-1/7}$ 变化。把环境密度增大128倍；128恰好是二的七次方，因此三个半径都会减半。同一年龄下 $V=mR/t$，相应速度也减半。

若改成把年龄加倍，则是另一场实验。包层半径增加到 $2^{4/7}\simeq1.486$ 倍，速度变为 $2^{-3/7}\simeq0.743$ 倍。交互实验的密度预设始终保持约148.578年的同一个物理年龄，没有暗中换年龄来维持某个反向激波位置。

128倍是用于练习比例关系的例子，不保证两端都落在交互范围或包层阶段。把公式用到具体遗迹之前，还要检查反向激波与内核的关系。

对应阅读：Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

点爆炸从另一种守恒条件开始

独立的Sedov–Taylor问题，是把固定能量 $E$ 放进均匀密度 $\rho_0$ 的介质，忽略抛射物质量。起点没有内核，也没有反向激波。只比较单位，就能知道半径必须随 $(Et^2/\rho_0)^{1/5}$ 变化，但还差一个无量纲系数。

要确定这个系数，需要在强正向激波后积分球对称Euler方程，再把各球壳的动能和内能加起来，令总和等于给定能量。这一步提供了单靠量纲分析得不到的信息。

独立程序使用三个逐渐缩小的中心截断，单独报告未分辨中心的热能估计，得到 $\beta=1.1516664$、$\beta^5=2.0259724$。扫入的总质量和局部能流第一积分提供了另外的检查。公开读者包会重新计算这些数，不把现成结果当作重算。

包层解和点爆炸解的出发条件不同，可以比较指数，却不能把两条曲线前后接起来就称为完整演化。反向激波进入内核以后怎样过渡，必须另解动力学问题。

对应阅读：Leahy & Williams (2017), A Python Calculator for Supernova Remnant Evolution, arXiv1701.05942v2 · Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader