强激波怎样把运动变成热

先跟着激波一起走

取局部 $x$ 轴从上游指向下游，让流入、流出速度 $u_1,u_2$ 都沿这个方向为正。质量密度 $\rho$ 用千克每立方米，压力 $P$ 用帕斯卡。激波厚度远小于曲率半径时，可以先把一小块前沿当作平面。

盯住前沿的一块固定面积。在一小段时间里，流入的气体原先占据一个柱体：底面积就是这块面积，长度是速度乘以时间。体积乘密度，便是穿过它的质量。稳态激波不会一直在这窄窄的一层中堆积质量，因此流入与流出的质量通量必须相同。

把共同的质量通量记为 $j$ ，压缩比记为 $r=\rho_2/\rho_1$ ，立刻得到 $u_2=u_1/r$ 。密度增大，就要在这个参考系里减速。至于气体相对遗迹中心朝哪边走，还需要转换参考系。

j=\rho_1u_1=\rho_2u_2,\qquad r=\frac{\rho_2}{\rho_1}

质量通量的单位是质量除以面积和时间，两边对应同一道前沿。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797

动量还要由压力传递

运动气体携带动量，压力也在控制体边界上施力。把两项加起来，才是穿过边界的动量通量。这里假设上游气体很冷，它的压力相对冲压可以忽略；这就是所用的强激波极限。

将 $u_2=u_1/r$ 代入动量平衡，可得 $P_2=\rho_1u_1^2(1-1/r)$ 。下游流动虽然减慢，压力却接过了一部分动量传递。

只用动量平衡，还不能选出压缩比。接下来追踪能量，并暂时限制为没有辐射损失、磁应力和高能粒子反作用的理想气体。气体除了携带内能，流经边界时还要顶着压力做功；内能加上这部分压力功，合在一起叫焓。

绝热指数 $\gamma$ 是定压比热与定容比热的比值。这里的单原子气体，热能储存在三个平移运动方向，比值为 $5/3$ 。

P_1+\rho_1u_1^2=P_2+\rho_2u_2^2,\qquad h=\frac{\gamma P}{(\gamma-1)\rho}

这里的

h

是单位质量的焓，单位为焦耳每千克；它把随流携带的内能与压力功合在一起。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797

能量守恒选出四倍压缩

把能量通量除以共同的质量通量，留下单位质量的动能与焓。忽略上游焓，再代入刚得到的下游压力，最后除以上游动能，就得到下面的代数式。

整理后的二次方程有两个根。 $r=1$ 表示没有跳跃；另一个才是压缩的激波。单原子理想气体取 $\gamma=5/3$ ，因此压缩比为4，下游流速降为上游的四分之一，下游压力是上游冲压的四分之三。

这三项结果来自同一组守恒关系。若随意配上四倍密度和一个无关的流出速度，连质量都无法守恒。辐射冷却很强时，压缩可以远大于四；磁场或高能粒子若参与动力学，方程也要加入相应的应力与能量。

\frac{u_1^2}{2}=\frac{u_2^2}{2}+h_2\quad\Longrightarrow\quad 1=\frac{1}{r^2}+\frac{2\gamma}{\gamma-1}\frac{r-1}{r^2}

右边第一项是流出气体保留的整体动能，第二项是它携带的焓。

(r-1)\left(r-\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\right)=0,\qquad r=4,\quad P_2=\frac34\rho_1u_1^2

上游很冷的单原子理想气体使用压缩分支。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797 · Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

算温度前，先数清粒子

从压力得到温度，需要状态方程 $P_2=\rho_2kT/(\mu m_p)$ 。其中 $k$ 是玻尔兹曼常数， $m_p$ 是质子质量， $\mu m_p$ 是每个热粒子的平均质量，要把离子和电子都算进去。完全电离的纯氢，每个质子对应一个电子，因此 $\mu\simeq0.5$ 。

例题取流入速度 $3000\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ ，并假设电子和质子已经达到相同温度。将四倍密度与下游压力代入，可得 $T\simeq1.02\times10^8\,\mathrm{K}$ ，即 $kT\simeq8.81\,\mathrm{keV}$ 。这里不能漏掉密度的四倍压缩。

真实的无碰撞激波未必马上让电子与离子达到同温。气体平均压力的跳跃可以确定，X射线谱所关心的电子温度却仍可能不同。要计算实际谱线，还得接上电离和辐射过程。

kT=\frac{3}{16}\mu m_pu_1^2

温度随流入速度的平方变化。平均粒子质量，以及电子和离子怎样分享热能，都是这个结果的条件。

对应阅读：Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

再回到向外膨胀的遗迹

若正向激波以 $V_{\rm f}$ 向外扫过静止环境，上游相对速度就是 $u_1=V_{\rm f}$ 。下游气体相对遗迹中心以 $3V_{\rm f}/4$ 向外运动。改到跟随激波、局部轴朝内的参考系，才得到前面所用的下游速度。

反向激波遇到的气体原本就在膨胀。反向激波半径处，未激波抛射物的速度为 $R_{\rm r}/t$ ，减去反向激波速度，才是实际流入的相对速度。这里若直接套用正向激波速度，就算错了来流的动能。下一章会把这两个不同的来流接成双壳层问题。

对应阅读：Chevalier (1982), Self-similar solutions for the interaction of stellar ejecta with an external medium, ApJ258,790–797

强激波怎样把运动变成热

先跟着激波一起走

动量还要由压力传递

能量守恒选出四倍压缩

算温度前，先数清粒子

再回到向外膨胀的遗迹

练习与解释性答案

动手检验预测

在同一年龄改变密度

来源与计算范围