高能种子怎样在平均循环中继续加速

让两侧散射中心随气体运动

取局部平面、平行磁场的激波，在激波参考系里，上下游散射中心随气体以 $u_1$、$u_2$ 运动，且 $u_1>u_2>0$。高能质子的速度接近光速 $c$，这里假设反复散射后，它在各自气体参考系中近似向各方向均匀分布。两群散射中心彼此汇聚，便让完整的穿越与返回循环产生系统增益。

Bell的平行激波前导阶推导给出下面的平均对数动量增益 $G$ 和下游逃逸概率 $P$。它们只保留气体速度除以光速的一阶项；这里的散射中心跟着流体，没有另加Alfvén漂移、斜激波或粒子反作用。

强激波满足 $u_2=u_1/4$，所以前导阶的 $G$ 与 $P$ 都等于 $u_1/c$。默认快照约为0.0191：当前期望权重约有百分之1.91逃逸，幸存群体的代表动量约增加 $e^G-1\simeq1.93\%$。

对应阅读：Bell (1978), The acceleration of cosmic rays in shock fronts—I, MNRAS182,147–156

先数幸存者，再谈能谱

给种子一个正的期望权重 $N_0$ 和代表动量 $p_0$。每次循环，先让比例 $P$ 在当前动量处逃逸，再给幸存群体增加对数动量 $G$。经过 $j$ 次循环，幸存权重和代表动量分别是下面两列数。

消去 $j$，得到幸存权重随动量变化的幂律。每个等宽对数动量区间中的逃逸权重，也具有同样的幂次。若改成“每单位动量有多少”，还要再除以 $p$，于是得到 $\alpha_{\rm disc}$。对数直方图的斜率与微分能谱斜率因此不能直接混用。

当流速相对光速足够小时，$-\ln(1-P)\simeq P$，强激波趋近 $dN/dp\propto p^{-2}$。但这里明确定义的有限循环有 $\alpha_{\rm disc}>2$，会保留这点差异，而不强行画成精确的二次幂。逃逸分布还会在保存窗口末端截断。

对应阅读：Bell (1978), The acceleration of cosmic rays in shock fronts—I, MNRAS182,147–156 · Sandbox Physics independent supernova-remnant Python science reader

扩散给循环装上时钟

扩散系数 $\kappa$ 描述散射让粒子铺开的快慢，单位是平方米每秒。若规定平均自由程等于回旋半径，超相对论、带电量大小为 $e$ 的粒子便有Bohm处方 $\kappa=pc/(3eB)$。平行几何中法向磁场不变，因此 $B_1=B_2$。

停留时间可以另找物理关系检查。上游的稳态粒子密度向远处按指数下降，尺度为 $\kappa_1/u_1$。密度乘这个长度，是单位面积前方积存的粒子数；再除以近似各向同性的穿越通量 $nc/4$，得到上游平均停留时间 $4\kappa_1/(cu_1)$。

下游若直接把均匀密度积到无穷远，会得到无限的粒子数。应当讨论漂移扩散轨迹中“最终返回激波”的那一部分。取前导阶出发距离 $a=4\kappa_2/c$，条件平均返回时间为 $a/u_2$；独立的首次返回时间积分检查了这一步。把两侧时间相加，再除以平均对数增益，就得到每单位对数动量所需的时间。

在这个处方里，磁场越强，散射长度越短，循环越快。它使用的是给定散射规律，磁波怎样产生和增长仍需另一套物理。

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平均动量与平均对数并不相同

先取对数的平均再取指数，通常不等于先求各个放大倍数的平均。这来自指数函数向上弯曲的性质，也叫Jensen不等式。最简单的例子：放大1倍和2倍各占一半，算术平均是1.5，几何平均却只有 $\sqrt2\simeq1.414$。

独立角分布积分保留了多次循环累积的非零差异。它采用声明的独立角度、各向同性假设，因此是在检查平均对数近似的局限，没有校准真实粒子的能量分散，也没有给这颗遗迹提供实测误差条。

读图时，可以把保存的代表动量理解为一个模型群体的摘要。群体中的不同质子可以具有不同能量，共用这个平均摘要。

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短窗口为何要停止

交互实验固定一幅约148.578年时的气体快照，包层幂律指数取七，粒子窗口最长为年龄的百分之一。相应相似解在这段时间里的半径变化约百分之0.57，激波速度变化约百分之0.43。气体画面保持静止，播放只选择已经保存的平均循环。

如果下一个完整循环将超出时间窗，让特征扩散长度超过正向半径的百分之一，或让新增粒子能量超过激波动能流的给定被动比例，就会在此前停止。种子从外部带着能量进入，没有求从热气体注入的过程。磁场与冲压的比值，以及反向激波是否仍在包层，也分别检查。

种子输入 $p_0c=100\,\mathrm{GeV}$ 指下游流体参考系中的代表动量。该系总能量为 $E_{\rm d}=\sqrt{(pc)^2+(m_pc^2)^2}$。对下游各向同性群体，激波参考系的平均总能量为 $\gamma_2E_{\rm d}$，其中 $\gamma_2=(1-u_2^2/c^2)^{-1/2}$。保留、逃逸和新增能量都使用激波系动能 $K_{\rm sh}=\gamma_2E_{\rm d}-m_pc^2$。种子动量、总能量和动能因此要分开。

所有保留和逃逸权重都计入，定义的平均群体能量与种子能量加新增能量相等。很小的数值残差说明这套计算相符，却没有证明高能粒子压力一定能忽略。最后保存的动量属于所选短窗；真实最大质子能量还取决于完整分布、散射、损失和遗迹演化。

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