从出射强度走到能拟合的光谱

先把仪器的模糊写清楚

用 $q(\lambda)$ 表示上一章给出的归一化强度。理想仪器会直接记录它；实际仪器把一个波长的光分散到邻近像素。响应函数 $G$ 告诉我们各处收到的比例。把所有输入波长的贡献加起来，就是卷积。

仪器响应的积分必须等于一。这样一段平坦连续谱经过仪器后仍平坦，完整谱线的缺损面积也保持不变。数值计算先对 $q-1$ 作卷积，采样域外按零亏损延伸，相当于域外恢复单位连续谱，避免在边缘凭空出现暗带。

对应阅读：Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E · Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I

连续谱也要和谱线一起估计

真实标定后的光谱仍可能带着斜坡。短波一端的背景高一点，长波一端低一点，若硬把连续谱当成水平线，拟合常会挪动线心或改变线深来补偿。局部连续谱先用直线 $C(\lambda)=a+b x$ 表示，$x$ 是以固定中心为原点的无量纲波长坐标。

观测预测取 $M_i=C(\lambda_i)q_{\rm inst}(\lambda_i)$。给定速度、宽度和光学深度后，连续谱的两个系数仍是线性的，可直接解两个联立方程。外层只搜索非线性的三个谱线参数，计算量小，也方便逐项检查。

令 $u_i=q_i$、$v_i=x_iq_i$，其中 $q_i=q_{\rm inst}(\lambda_i)$，再令权重 $w_i=1/\sigma_i^2$。预测便是 $a u_i+b v_i$。平方和对连续谱截距和斜率分别求导，最小值处两个导数都为零；把含系数的项移到左边，就得到下面的两个方程。

矩阵只是把两个联立方程排在一起的写法。先算五个加权和，再解截距和斜率。只有两个基函数提供不同信息时，行列式才不为零；这也是为什么连续谱不能只靠同一个波长点同时决定高度和斜率。

完整算例：很好看的残差仍可带错速度

教程先固定一组可控的合成样本。注入速度为 $18\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，仪器分辨本领为 $60000$。同时拟合倾斜连续谱、速度、Doppler 参数和参考光学深度，冻结脚本得到速度约 $18.0\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，约化平方和约 $1.04$。它验证的是保存样本的参数回收。

把全部波长故意加上 $0.002\,\mathrm{nm}$，强度和噪声都不动，再拟合一次。速度变成约 $19.2\,\mathrm{km\,s^{-1}}$，残差几乎同样好。全局波长零点错误，恰好能伪装成整层气体的速度。

如果零点标准差给定为 $0.0002\,\mathrm{nm}$，在五百纳米处对应约 $0.120\,\mathrm{km\,s^{-1}}$ 的共同速度不确定度。再多测几个同一标定下的像素，也消不掉这一项。

真实光谱会把简化模型的缺点暴露出来

配套实测教程固定 CALSPEC 的织女星光谱，只取表头注明来自 STIS 的光学段。氢线宽而有翼，简单高斯函数在很小的统计误差面前留下巨大平方和。换积分窗口、改连续谱、换线型，表观线心与宽度都会改变。

这正是从教学谱走向天文资料时应该遇到的检查。一个能输出数字的优化程序，离可靠的恒星参数还差一个经得住残差和模型比较的物理描述。先报告线心、窗口和拟合形状的敏感性；要解释元素丰度，再进入三维非 LTE 大气。

对应阅读：STScI CALSPEC, alpha_lyr_stis_011.fits (25 October 2022) · MAST reference atlases and CALSPEC releases · Amarsi, Liljegren & Nissen (2022), 3D non-LTE iron abundances in FG-type dwarfs, arXiv:2209.13449v3