把吸收和发射放进同一个方程

先定光路和光学深度

沿着光从背景走向观测者的方向取坐标 $s$，入口在零，出口在 $L$。吸收系数 $\alpha_\lambda$ 表示每单位路程的衰减程度，发射系数 $j_\lambda$ 表示每单位路程补入的强度。很短一段路上的变化，就是补入量减去吸收量。

定义光学深度 $d\tau_\lambda=\alpha_\lambda ds$，它没有单位，随光向出口走而增加。再定义源函数 $S_\lambda=j_\lambda/\alpha_\lambda$，量纲和强度相同。这里源函数不随深度变，薄层在 LTE 下满足 $S_\lambda=B_\lambda(T)$；LTE 表示局部原子布居服从局部温度，并不要求整颗恒星温度一样。

对应阅读：Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I · Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E

用积分因子一步步求出射强度

把整个方程乘 $e^{\tau_\lambda}$，左边恰好是 $I_\lambda e^{\tau_\lambda}$ 的导数。对入口到出口积分，常量源函数可以提出积分号，指数积分给出 $e^{\tau_\lambda}-1$。最后除回指数因子，得到下面的两项。

第一项把入口背景按透过率衰减；第二项累积薄层辐射。注意出射强度始终位于背景强度与源函数之间。薄层越厚，越接近自己的源函数。它不会在吸收原子无限增多时自动降到零。

对应阅读：Krumholz, ASTR 4003/8003 (2019), Class 1, Radiative transfer I

三个极限与一个完整算例

透明极限 $\tau\to0$ 给出背景本身。很厚时 $e^{-\tau}\to0$，出口只剩源函数。同温极限最值得检查：背景也为 $B_\lambda(T)$ 时，无论光学深度多少，出射强度都等于背景，谱线应消失。

现在令源函数与背景之比 $r=0.2$，线心光学深度从 $0.1$ 增加到 $1$ 再增加到 $10$。归一化强度依次为 $0.924$、$0.494$ 和 $0.200$。一开始几乎线性下降，后来趋近薄层自己提供的两成亮度。若算出负强度，或厚层仍只由背景决定，方程或符号就错了。

原子数怎样进入光学深度

为给两条谱线定义一致的热平衡布居，先规定一个四能级的人为原子：基态能量为零，共用的吸收下能级高出基态 $2\,\mathrm{eV}$，两条线分别连向两个上能级。每个上、下能级差都等于对应光子的 $hc/\lambda_{0,j}$，约为 $2.48\,\mathrm{eV}$。所有统计权重取一。二电子伏表示吸收前的激发能，与被吸收光子的能量是两件事。

把四个能级的 Boltzmann 权重相加，得到配分函数，也就是归一化各能级原子数的总权重。下能级所占比例为 $p_l(T)$。电离阶段与总离子柱固定，温度会重新分配这四层之间的原子。真实原子的能级和跃迁概率要由原子数据给出。

上能级原子还会在入射光作用下受激发射，把光补回同一方向。LTE 下，上、下能级布居比正好给出指数因子；净吸收因此要再乘 $f_j(T)$。把这项和下能级布居一起算进不透明度，才与采用 Planck 源函数的发射项一致。

以下用 $T_0=4500\,\mathrm K$ 作参考，柱密度倍数为 $N/N_0$，两条线的参考强度 $s_1=1$、$s_2=0.42$。Doppler 参数仍记为 $b(T)$。柱密度和净吸收原子数增加，会增大线面积；相同面积摊到更宽的速度分布中，线心光学深度便按宽度的倒数降低。用这些比例可逐项重算默认和升温后的谱。

对应阅读：Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, chapter 7.3 · Condon & Ransom, Essential Radio Astronomy, Appendix E

等值宽度为什么先快后慢地增长

光学深度很小时，指数可用一次近似。把高斯函数积分，得到等值宽度正比于线心光学深度与 Doppler 宽度的乘积。若温度和速度分布不变，柱密度翻倍，等值宽度也近似翻倍。

线心饱和后，亏损深度最多接近 $1-r$。多加原子主要推动两翼变厚，增长速度就慢下来。等值宽度随柱密度的关系叫增长曲线。这里没有压强阻尼翼，因此不讨论真实强线在极高柱密度下进入的阻尼增长段。