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Sandbox Physics
从压力与燃料读懂恒星演化

L3 · 恒星结构与演化

跟着燃料读懂恒星演化轨迹

Sandbox Physics ·

演化轨迹上的转弯，对应恒星内部的改变：燃料耗尽，燃烧移到别处，或核心与外包层重新调整。读懂一次转弯，先要把曲线上的点，接回模型号和时间完全相同的内部剖面。

先读坐标，再读曲线

赫罗图把表面有效温度与光度放在一起。有效温度的意思是：如果用黑体发出同样的单位面积能流，它需要多热。光度则是整颗星每秒发出的总能量。按惯例，越热越靠左，光度越大越靠上。

表面量满足 L=4πR2σTeff4L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4，其中 RR 是光球半径，σ\sigma 是 Stefan–Boltzmann 常数。只要半径增大得足够多，恒星就能在表面变冷时反而更亮。表面颜色也不直接告诉我们核心有多热。

图集画出每个模型自己的历史轨迹，用金点标出所选保存剖面。profile3 表示第三张保存的剖面，未必对应第三个演化模型。解释曲线上的一个点以前，先读剖面头部与索引，确认它的模型号和年龄。

来源：MESA 25.12.1, history, profile and restart output documentation · Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0

先把各层还剩多少氢加起来

一层球壳的氢质量比例记作 XHX_H。乘上这一层的质量，再把全星各层相加，就得到星内还剩的氢质量。文件列的是壳内累计质量，相邻边界相减才是各层自己的质量。

有恒星风时，氢总量降低不全是烧掉了：也有一部分随风离开。估算核消耗，就要扣掉这部分；离开的物质含多少氢，用表面氢比例来加权。

时间也要用实际接受的演化步长。这里的大质量文件，把当前行的质量损失率归给到这一行结束的时间段。按这些步长求和，能重现模型实际损失的质量。梯形积分换了一种取样假设，对这点较小的风损失会给出不同结果。

MH=∫XH dm,ΔMH,burn=MH(t1)−MH(t2)−∫t1t2XH,surf M˙loss dtM_H=\int X_H\,dm,\qquad\Delta M_{H,\mathrm{burn}}=M_H(t_1)-M_H(t_2)-\int_{t_1}^{t_2}X_{H,\mathrm{surf}}\,\dot M_{\mathrm{loss}}\,dt
这里把损失率 M˙loss\dot M_{\mathrm{loss}} 定义为正。源文件的 star_mdot 在物质流失时为负，代入前要换号；质量与时间单位也要一致。

来源：Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0 · MESA 25.12.1, history, profile and restart output documentation

把燃料换成能量的量级

氢变成氦后，产物的总静质量较小，差额对应释放的结合能。其中一部分会随中微子离开，留给气体的核加热因而与反应网络、能量列的定义有关。

对十个太阳质量、太阳邻域组成的独立计算，整个保存主序区间内，每消耗一克氢，积分得到的氢燃烧热量约为 6.02×1018 erg6.02\times10^{18}\,\mathrm{erg}。用原子质量差求出的总能量上限约为 6.40×1018 erg6.40\times10^{18}\,\mathrm{erg}。加热低于这个上限是合理的；上限不能替代完整的核反应网络。

做一个具体量级估计。扣掉随风离开的氢，这条轨迹约烧掉 1.96 M⊙1.96\,M_{\odot} 的氢。乘上每克的加热量，约得 2.34×1052 erg2.34\times10^{52}\,\mathrm{erg}；再除以约 24.7 Myr24.7\,\mathrm{Myr}，平均氢燃烧光度约为 7.9×103 L⊙7.9\times10^3\,L_{\odot}。

这算的是核加热。若要完整比较整体能量，还得跟踪内能、引力、中微子，以及穿过变化边界的能量。完整能量守恒检验还需要更多逐时能量项。这里的大质量输出只够检查氢的收支和相应的核加热量。

来源：Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0 · NIST atomic masses, hydrogen isotopes · NIST atomic masses, helium isotopes · Jermyn et al., MESA VI, arXiv:2208.03651v2, Section V energy consistency

核心先变，外层的氢还没用完

主序核心把氢转成氦，平均粒子质量逐渐改变，压力、温度和燃烧速度随之调整。核心混合能让一部分区域的组成近似均匀，外围则留下化学梯度。整个结构回应这些变化，表面也在赫罗图上移动。

在这组固定的太阳邻域组成模型里，初始十二个太阳质量的核心烧氢区间，比十个太阳质量的更短。表中从作者定义的主序起点，量到最后一个保留的核心烧氢点；它不是从形成开始的全部年龄。

核心氢耗尽以后，氢仍可在富氦核心外面的球壳里燃烧。核心收缩，外包层的热结构也会调整，半径可能增大，表面温度下降。读到后面的转弯时，要回到燃烧区与组成剖面，才能知道具体发生了什么。

初始质量保存的核心烧氢区间固定模型族
10 M⊙10\,M_{\odot}24.7 Myr24.7\,\mathrm{Myr}太阳邻域组成，NOMAG/Mix1
12 M⊙12\,M_{\odot}18.2 Myr18.2\,\mathrm{Myr}太阳邻域组成，NOMAG/Mix1

来源：Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0 · Keszthelyi et al., arXiv:2209.06350v1, rotating stellar grids and physical prescriptions · Dotter (2016), MIST 0, arXiv:1601.05144v1, phase-aware track interpolation

氦燃烧造出另一种核心

独立的四个太阳质量例子，从一颗已经开始核心氦燃烧的模型导入，并重置时钟。它是新的模型，不是前面两条大质量主序轨迹接出来的下一段。

第一张保存状态的中心氦比例约为零点九八，中间一张约为零点六零，最后一张已经接近耗尽。氦反应形成碳，氦与碳参与的反应又会形成氧。保存的碳、氧曲线让我们看到，产物积累在哪些层。

与此同时，外面的氢壳仍可燃烧，不能把全部表面光度都归给核心的氦反应。分别保存的源项，可以告诉我们各类燃烧各自供应多少功率。

外包层也在变化。三个保存的氦燃烧状态，光球半径约从四十二个太阳半径降到二十二个，再回到三十二个。相应的温度与光度，让赫罗轨迹改变方向。这个源计算在核心氦燃烧结束时停止，还没有为这颗星算出白矮星。

四幅图比较同一主序模型族、其内部燃料分布、独立氦燃烧模型与独立白矮星冷却模型。
上排属于同一组自转主序模型；下排分别是导入的氦燃烧与白矮星模型。各自的时钟没有连成一颗星的完整寿命。

来源：Anne Thoul and Morgan Chidester (2022), convective-boundary school solutions, Zenodo 7082536, CC BY 4.0

白矮星主要靠散失储存的能量发光

冷却例子是一颗已经形成、质量为 0.7856 M⊙0.7856\,M_{\odot} 的白矮星。内部富含碳和氧，外面有较薄的富氦区域。它的导入时钟不包含前身恒星的寿命，也没有确定前身的初始组成。

在三个支持使用的保存状态里，核加热远小于表面光度。遗骸失去储存的能量时，电子简并压力仍可抵住重力。气体靠什么支撑，与发光由什么供应，是两个相连却不同的问题。

从第一张有效快照到最后一张，光度约由 0.00469 L⊙0.00469\,L_{\odot} 降到 0.00106 L⊙0.00106\,L_{\odot}，半径始终接近太阳的百分之一。这些原生状态展示紧凑遗骸怎样冷却；稀疏的能量输出还不足以校准精密冷却年龄。

来源：Kumar and Townsley (2025), fixed white-dwarf cooling reproduction package, Zenodo 17765239, CC BY 4.0 · Jermyn et al., MESA VI, arXiv:2208.03651v2, Section V energy consistency

物理上的先后，需要计算真正接起来

压力支持、燃料改变、壳层燃烧、包层流失和遗骸冷却，能连成一条物理思路。完整演化计算则必须在同一套条件下，把这些阶段实际算通。MESA 官方的一倍太阳质量测试，就是这种问题的一个例子。这里的图集采用固定主序比较，再分别展示后面的具名模型。

估年龄时，这个区别尤其重要。不同质量、不同组成，甚至不同阶段，都可能经过相近的赫罗图位置。下一篇教程用已知真值的合成测量，计算条件明确的年龄区间，也检查模型缺了一部分时，答案会怎样偏离。

来源：MESA 25.12.1, one-solar-mass pre-main-sequence to white-dwarf test case · Dotter (2016), MIST 0, arXiv:1601.05144v1, phase-aware track interpolation

自己推一步

恒星光度升高，有效温度却降低，半径必须怎样变化？

半径必须增大得足够多，让增大的发光面积抵过单位面积能流的降低。给出具体变化倍数后，可用 Stefan–Boltzmann 关系计算。

估计烧掉的氢时，为什么要扣掉风带走的氢？

这些氢离开恒星时，没有提供所积分的核加热。把它们都当成烧掉了，会高估核消耗，并低估每克燃料贡献的热量。

让赫罗图选点与内部剖面一一对应

  1. 保存一个主序记录，比较模型标识、模型号和时钟，确认与金点及剖面一致。
  2. 按顺序选择独立氦燃烧模型，观察氦、碳、氧曲线，同时读它重新起算的时钟。
  3. 打开白矮星模型，比较它很小的物理半径、较低的光度与仍然很强的压力支持。

复习改变燃料的核反应

  1. 比较示意性的氢燃烧与氦燃烧反应阶段。
  2. 用反应课辨认燃料和产物；定量的恒星时钟与燃料积分，使用保存的 MESA 模型。

原始来源

  1. Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0
  2. Keszthelyi et al., arXiv:2209.06350v1, rotating stellar grids and physical prescriptions
  3. MESA 25.12.1, history, profile and restart output documentation
  4. Jermyn et al., MESA VI, arXiv:2208.03651v2, Section V energy consistency
  5. Dotter (2016), MIST 0, arXiv:1601.05144v1, phase-aware track interpolation
  6. Anne Thoul and Morgan Chidester (2022), convective-boundary school solutions, Zenodo 7082536, CC BY 4.0
  7. Kumar and Townsley (2025), fixed white-dwarf cooling reproduction package, Zenodo 17765239, CC BY 4.0
  8. MESA 25.12.1, one-solar-mass pre-main-sequence to white-dwarf test case
  9. NIST atomic masses, hydrogen isotopes
  10. NIST atomic masses, helium isotopes
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