热量怎样穿过恒星

光子没有一条直通表面的路

在恒星深处，辐射不断与电子、离子和原子作用。把许多次作用合起来看，能量从较热处向较冷处扩散。这里算的是穿过气体的能量流，不是追着最初那一个光子，直到它飞出恒星。

不透明度记作 $\kappa$ ，描述每单位质量的物质阻挡辐射的能力。平均自由程表示两次作用之间大致走多远。密度越高，或不透明度越大，平均自由程就越短。

扩散近似适用于这样的深层区域：局部条件要经过许多次作用才明显改变。到了光球附近，辐射开始逃逸，模型还要接上大气边界条件。深处的扩散公式不能原封不动地用到自由飞行的光。

\ell\sim\frac{1}{\kappa\rho}

平均自由程为

\ell

，密度为

\rho

。不透明度的单位是面积除以质量，两者相乘再取倒数，得到长度。

令 $F$ 表示每单位面积向外通过的辐射能流， $T$ 表示局部温度。通常温度朝外降低，能流却向外为正，公式中的负号正是为了表达这两个方向。辐射常数为 $a$ ，光速为 $c$ 。

半径 $r$ 处的球面面积是 $4\pi r^2$ 。乘上能流，就得到穿过这一层的光度 $L(r)$ 。如果某些层在产能或储存能量，内部光度也会随深度改变。

把辐射扩散关系与上一章的球对称静水平衡关系联立，可以消去半径梯度与密度，得到辐射若要承担给定光度，需要多大的温度梯度。

F=-\frac{4acT^3}{3\kappa\rho}\frac{dT}{dr},\qquad L=4\pi r^2F

这里采用光学厚区域的辐射扩散近似与球对称几何。

\nabla_{\mathrm{rad}}\equiv\left(\frac{d\ln T}{d\ln P}\right)_{\mathrm{radiation}}=\frac{3\kappa LP}{16\pi acGmT^4}

这个无量纲梯度比较温度和压力的相对变化。局部压力为

P

，壳内质量为

m

。它是辐射独自承担给定光度时所需的梯度；有对流时，实际梯度可以不同。

想象把一小团气体稍稍抬高。外界压力降低，它随之膨胀。如果这段位移期间来不及与周围交换多少热，膨胀就近似绝热，气团会冷却。绝热指热交换很少，并不是温度保持不变。

接下来要比较它与新位置的环境。如果环境随高度冷却得更快，抬上来的气团就显得较暖、较轻，浮力会把它继续往上推。向下位移也有相应的失稳趋势，对流便可能形成。

组成均匀时，比较辐射所需梯度和绝热梯度，就能做这个稳定性判断。实际对流层的温度梯度，还取决于气体运动输运热量的效率。仅仅看到中心热、外面冷，并不能判断有无对流；稳定的辐射层也有温度梯度。

\nabla_{\mathrm{rad}}>\nabla_{\mathrm{ad}}

在这里的气团假设下，组成均匀区域满足这个 Schwarzschild 条件时会失稳。

对组成固定的理想气体，绝热变化让压力与密度满足一个幂律，指数是比热比 $\gamma$ 。再用理想气体关系把密度换掉，就能求出温度对压力的变化率。

单原子理想气体有 $\gamma=5/3$ ，因此绝热对数梯度为五分之二。它适合做一个清楚的参照。部分电离、辐射压力和电子简并都会改变热力学性质，实际恒星模型需要从状态方程取得自己的梯度。

例如，一处辐射所需梯度为 $0.30$ ，理想气体的绝热值为 $0.40$ 。按这个气团判断，辐射能够承担给定光度而不失稳。若在局部试算中保持其他量不变，只把不透明度加倍，所需梯度便增至 $0.60$ ，超过绝热值。

随后，真实恒星还会重新调整。这里固定其他量，是为了隔离一种局部作用，并没有算出一颗新的平衡恒星。

P\propto\rho^\gamma,\quad T\propto P^{(\gamma-1)/\gamma},\quad\nabla_{\mathrm{ad}}=\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac25

最后一个等号只取单原子理想气体的比热比。MESA 剖面中的实际梯度来自模型采用的状态方程。

氢燃烧后留下氦。在给定压力和温度下，组成会通过每个自由粒子的平均质量影响密度。从富氦内层抬起的气团，可能保留比新环境更重的组成。这份额外密度会阻碍它继续上升。

Ledoux 判断把组成的贡献也算进去。尖锐的化学分界既影响混合，也影响稳定性。检查对流边界时，不能只在温度梯度曲线上找一次变号，还要分清边界两侧的组成与物性。

在一维演化模型中，对流和越过形式边界的混合都需要处方。换一种处理，进入燃烧核心的氢或氦可能更多，寿命也会改变。图集把这些处方固定下来，保存的组成曲线展示了它们算出的结果。

这里的太阳邻域与小麦哲伦云组成，不透明度、氦含量和重元素配比都不同。保存的剖面适合比较两颗完整的模型恒星。若要单独检验不透明度的作用，可以先做前面的局部试算，或另算一组严格匹配的演化模型。先分清是哪一种比较，温度怎样响应就更容易读懂。