恒星怎样撑住自己

先取一小柱气体

从恒星中心向外量距离，记作 $r$ ；这个半径以内的质量记作 $m(r)$ 。这里用米、千克和帕斯卡。密度 $\rho$ 表示单位体积有多少质量，压力记作 $P$ 。先假设恒星球对称，只需要一个半径坐标。

取截面积为 $A$ 、沿径向厚度为 $dr$ 的一小柱气体。内侧压力较大，向外的推力比外侧向内的推力稍强。 $dP/dr$ 表示沿半径向外，每走一小段距离，压力改变多少。

这柱气体的质量等于密度乘体积，重力加速度为向内的 $Gm/r^2$ 。令压力差的合力等于重量，再约去两边共有的截面积和厚度，就得到静水平衡方程。

负号说明压力朝外降低，压力本身仍然为正。方程只回答一处气体怎样保持力学平衡，还没有告诉我们这里多热、是什么组成，或能量从哪里来。

-\frac{dP}{dr}\,A\,dr=\rho\,A\,dr\,\frac{Gm}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{dP}{dr}=-\rho\frac{Gm}{r^2}

径向向外为正。这里采用球对称的牛顿引力，并忽略气体的径向加速度。

来源：Paxton et al., MESA IV, arXiv:1710.08424v1, energy equations and convective boundaries

把半径换成壳内质量

一个很薄的球壳，体积近似为 $4\pi r^2dr$ 。乘上密度，就是这一层的质量。这条关系让我们可以在半径坐标与壳内质量坐标之间换算。

用压力方程除以质量方程，密度消去，就得到压力对壳内质量的变化率。保存的 MESA 剖面列出了质量、半径与压力，可以直接用相邻网格的差值检查。

图集中四个大质量主序模型会自转。它们使用体积等效半径。先求模型平均曲面围住多少体积，再取一个同样大的球，球半径就是这里的径向坐标。检查这些模型时，需要保留源文件中的自转修正因子；直接套不自转的球形公式，误差会明显变大。

\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho,\qquad\frac{dP}{dm}=-\frac{Gm}{4\pi r^4}

这是球对称、无自转的形式。原多方球采用这一极限；图集的自转模型在压力方程中还包含源文件记录的 fp_rot 因子。

来源：MESA 25.12.1, history, profile and restart output documentation · Keszthelyi et al., arXiv:2209.06350v1, rotating stellar grids and physical prescriptions · Keszthelyi (2022), fixed reproduction package, Zenodo 7069766, CC BY 4.0

完整解出一个均匀球

先做一个能解到底的例子。令球的密度处处相同，总质量为 $M$ 、半径为 $R$ ，外界压力可以忽略。这是数学参照，不是实际恒星的热模型。均匀密度下，壳内质量随半径的三次方增大。

把这条质量分布代入静水平衡方程，压力梯度就正比于半径，并带一个负号。从所选位置积分到表面，再用表面压力为零的条件，便能求出整个压力分布。

取太阳大小的质量与半径，约为 $1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}$ 和 $6.96\times10^8\,\mathrm{m}$ ，均匀球的中心压力约为 $1.34\times10^{14}\,\mathrm{Pa}$ 。这个数属于均匀球；实际恒星的密度会随深度显著改变。

公式还给出一个容易检验的比例：保持质量不变，把半径增至两倍，中心压力降为十六分之一。体积变大，密度降低；同一相对深度的重力也更弱，所需的压力差便小得多。

\rho=\frac{3M}{4\pi R^3},\quad m(r)=M\frac{r^3}{R^3},\quad\frac{dP}{dr}=-\frac{4\pi G\rho^2}{3}r

均匀密度给出确定的壳内质量，也让压力梯度成为半径的线性函数。

P(r)=\frac{2\pi G\rho^2}{3}(R^2-r^2),\qquad P_c=\frac{3GM^2}{8\pi R^4}

边界条件是表面压力为零。式子右侧的量纲是力除以面积，与压力单位一致。

来源：Paxton et al., MESA IV, arXiv:1710.08424v1, energy equations and convective boundaries

力学调整并不需要等燃料烧完

如果某一层失去平衡，气体会在重力与压力作用下移动。这个调整可以远快于核燃料消耗。估计它的时间，只要问：重力把气体移动一个恒星半径的距离，大约要多久？

得到的量级叫动力学时间，约为 $\sqrt{R^3/(GM)}$ 。代入太阳质量与半径，约是一千六百秒，也就是二十七分钟。它表示力学调整的量级，不等于所有恒星振动的周期。

恒星因而可以在漫长演化中，依次经过许多接近静水平衡的状态。每张剖面都得到压力支持，温度与组成却仍然缓慢改变。这里说的平衡，指较快的力学过程。

来源：Paxton et al., MESA IV, arXiv:1710.08424v1, energy equations and convective boundaries

散失热量又有另一只时钟

恒星一直向空间发光。假如靠引力收缩提供这些能量，就用引力结合能的量级除以光度，估计能维持多久。这叫 Kelvin–Helmholtz 时间。光度是每秒发出的能量，两者相除便得到时间。

取太阳的质量、半径与光度，结果约为 $3\times10^7\,\mathrm{yr}$ 。它远长于力学调整时间。恒星在相当长的散热与收缩过程中，仍可以处处接近静水平衡。

要沿着这段热演化继续算下去，还需要能量方程、热量输运方程，以及气体性质。多方模型用一种压力与密度的关系，求出有用的静态结构；它没有补齐这些演化方程，因而不能直接给出氢烧掉多少或恒星几岁。

t_{\mathrm{KH}}\sim\frac{GM^2}{RL}

质量、半径、光度分别为

M

、

R

、

L

。这个热时间尺度省略了与内部结构有关的数值因子。要估计核燃烧寿命，还得计算可用燃料。

来源：Paxton et al., MESA IV, arXiv:1710.08424v1, energy equations and convective boundaries · Jermyn et al., MESA VI, arXiv:2208.03651v2, Section V energy consistency

什么提供压力，什么提供光

普通热气体的压力与密度、温度有关。光子也会贡献辐射压力。在白矮星中，电子被压得很密，量子态的占据带来简并压力。遗骸逐渐散热时，这种力学支持仍能很强。

这样就能分清两个问题：气体靠什么支撑，发出的能量又由什么供应。静水平衡用压力梯度回答前一个问题；下一章沿着恒星的层层气体，追踪热量怎样向外走。

来源：Jermyn et al., MESA VI, arXiv:2208.03651v2, Section V energy consistency · Kumar and Townsley (2025), fixed white-dwarf cooling reproduction package, Zenodo 17765239, CC BY 4.0

恒星怎样撑住自己

先取一小柱气体

把半径换成壳内质量

完整解出一个均匀球

力学调整并不需要等燃料烧完

散失热量又有另一只时钟

什么提供压力，什么提供光

自己推一步

检验均匀球的压力比例

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