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Sandbox Physics
宇宙相变引力波

泡泡怎样冒出来，又怎样填满空间

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一阶相变要等新相的泡泡把空间填满才结束。如果成核率随时间以速率β\beta指数增长，还留在旧相里的空间比例会按双重指数下降，泡泡最后的间距是(8π)1/3ξw/β(8\pi)^{1/3}\xi_w/\beta。这一章把两个结果都推出来，再拿一份含 2803 个泡泡的合成记录检验。

单位、成核率和旧相

只看相变期间宇宙里的一小块区域，时间又足够短，可以先不管膨胀。时间tt从参考时刻t∗t_*算起。在t′t'时刻成核的泡泡，泡壁以恒定速度ξw\xi_w（以光速为单位）向外推，之后某时刻的半径就是ξw(t−t′)\xi_w(t-t')。旧相叫假真空，新相叫破缺相。

泡泡只能在还没被占的假真空里冒出来。记Γ(t)\Gamma(t)为假真空中单位体积、单位时间冒出的泡泡数。很多热相变临近结束时，这个成核率涨得极快，第一步近似可以写成以β\beta为速率的指数。

Γ(t)=Γ∗ eβ(t−t∗)\Gamma(t)=\Gamma_*\,e^{\beta(t-t_*)}
常数Γ∗\Gamma_*是参考时刻的成核率。β\beta越大，相变进行得越快。比值β/H∗\beta/H_*拿它和当时的哈勃膨胀率H∗H_*比；为 LISA 研究的模型里，这个比值通常在十到几百之间。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

数一数一个点被吞掉了几次

任取一个点。在t′t'出生的泡泡，只要中心离这个点不超过ξw(t−t′)\xi_w(t-t')，到tt时刻就把它包住了。先不管“后来的泡泡不能生在先来的泡泡里面”这个限制，把所有“虚拟”泡泡都算上：盖住这个点的期望个数，就是成核率乘以那个球的体积，再对出生时刻积分。

泡泡中心随机散布，盖住这个点的虚拟泡泡个数服从泊松分布。这个点还在假真空里，等于这个个数是零，概率为e−Ie^{-I}。生在真实泡泡里面的虚拟泡泡，所在之处本来就已是破缺相，不会改变这个点有没有被盖住。在这个模型里，这条捷径给出精确结果。

I(t)=∫−∞tΓ(t′) 4π3 ξw3(t−t′)3 dt′=8π ξw3 Γ∗β4 eβ(t−t∗)I(t)=\int_{-\infty}^{t}\Gamma(t')\,\frac{4\pi}{3}\,\xi_w^3(t-t')^3\,dt'=\frac{8\pi\,\xi_w^3\,\Gamma_*}{\beta^4}\,e^{\beta(t-t_*)}
令s=β(t−t′)s=\beta(t-t')，积分变成Γ∗eβ(t−t∗) (4πξw3/3β4)∫0∞s3e−sds\Gamma_*e^{\beta(t-t_*)}\,(4\pi\xi_w^3/3\beta^4)\int_0^\infty s^3e^{-s}ds，最后那个积分等于3!=63!=6。
h(t)=e−I(t)=exp⁡ ⁣[−eβ(t−t∗)]whenΓ∗=β48πξw3h(t)=e^{-I(t)}=\exp\!\left[-e^{\beta(t-t_*)}\right]\quad\text{when}\quad \Gamma_*=\frac{\beta^4}{8\pi\xi_w^3}
选t∗t_*使I(t∗)=1I(t_*)=1，就定下了Γ∗\Gamma_*。在t=t∗t=t_*时，约e−1=37%e^{-1}=37\%的空间还是假真空；再过一个1/β1/\beta，只剩e−e=6.6%e^{-e}=6.6\%。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

从成核率到泡泡间距

真实的泡泡只在剩下的假真空里出生，所以最终的泡泡数密度是nb=∫Γ(t) h(t) dtn_b=\int\Gamma(t)\,h(t)\,dt。令x=β(t−t∗)x=\beta(t-t_*)，被积函数变成exexp⁡(−ex)e^{x}\exp(-e^{x})，对全体xx积分正好是 1。平均间距就是每个泡泡所占体积的立方根。

算一个例子。取β/H∗=50\beta/H_*=50、ξw=0.9\xi_w=0.9，得H∗R∗=2.929×0.9/50=0.0527H_*R_*=2.929\times0.9/50=0.0527：泡泡合并时约为哈勃半径的百分之五。若β/H∗=300\beta/H_*=300，同样的泡壁给出H∗R∗=0.00879H_*R_*=0.00879。

LISA 模板把ξw\xi_w换成max⁡(ξw,cs)\max(\xi_w,c_s)，cs=1/3c_s=1/\sqrt3是相对论性等离子体的声速。泡壁慢的时候，它推出去的流体扰动以接近声速跑在前面，起作用的长度由声速决定。

nb=Γ∗β=β38πξw3,R∗=nb−1/3=(8π)1/3 ξwβn_b=\frac{\Gamma_*}{\beta}=\frac{\beta^3}{8\pi\xi_w^3},\qquad R_*=n_b^{-1/3}=(8\pi)^{1/3}\,\frac{\xi_w}{\beta}
这就是模板里用的平均泡泡间距。前面的系数(8π)1/3=2.93(8\pi)^{1/3}=2.93直接来自指数成核率；成核率随时间的变化方式不同，这个系数也会变。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

用一份合成记录检验

我们离线随机生成了一份这样的泡泡记录：周期性盒子边长 40 个ξw/β\xi_w/\beta，随机种子 77。按上面的成核率在各处提出候选泡泡，只有中心还在假真空里的才保留。记录里存下穿过显示切片的 517 个泡泡。

盒子里平均应有403/8π=254640^3/8\pi=2546个泡泡，这一份有 2803 个，多了一成。这不是程序出错：少数很早出生的泡泡会长得很大，盒子里有没有落进这样一个，计数就差很多。换 8 个种子，平均比值是0.984±0.0360.984\pm0.036，和 1 相符。

整个盒子测得的假真空比例，在每个采样时刻都和h(t)h(t)相差不超过 0.039。单个切片测得的比例涨落更大，最多差 0.103，因为一张切片包含的独立泡泡更少。实验室把两者都画出来，标明是合成数据，旁边是解析曲线。

一份合成泡泡记录的假真空占比随时间变化，与系综期望曲线对照
一份合成蒙特卡罗记录：种子 7777，边长 40 vw/β40\,v_w/\beta 的周期盒子里共 28032803 个泡泡。空心圆统计整个盒子，实心圆只统计一个切片。曲线是成核率按指数增长、泡壁匀速时的系综期望 exp⁡[−eβ(t−t∗)]\exp[-e^{\beta(t-t_*)}]。 查看完整图像

对应阅读：Original benchmark tutorial materials (standard-library Python) · Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024

练习与解释性答案

  1. 在什么时刻β(t−t∗)\beta(t-t_*)，正好还有一半空间是假真空？

    展开解释

    令exp⁡(−ex)=1/2\exp(-e^{x})=1/2，得ex=ln⁡2e^{x}=\ln2，x=ln⁡(ln⁡2)=−0.367x=\ln(\ln2)=-0.367。一半体积在参考时刻之前不久就转变了。双重指数很陡，剩下的部分在大约两个1/β1/\beta之内就转完。

  2. 泡壁速度ξw=0.4\xi_w=0.4，β/H∗=100\beta/H_*=100。按模板规则求H∗R∗H_*R_*，并说明它为什么比(8π)1/3×0.4/100(8\pi)^{1/3}\times0.4/100大。

    展开解释

    泡壁比声速慢，规则里用cs=0.577c_s=0.577：H∗R∗=2.929×0.577/100=0.0169H_*R_*=2.929\times0.577/100=0.0169。直接用0.40.4会得到0.01170.0117。慢泡壁推到前面的流体扰动以接近声速运动，决定声波图样的正是这个扰动。

  3. 朋友只用一个种子跑蒙特卡罗，泡泡比预期多了 15%。是成核程序写错了吗？

    展开解释

    不一定。早出生的泡泡能长到和盒子差不多大，一个盒子里独立的“大事件”很少，计数的涨落比简单的平方根估计大。检验程序要用一组种子比较平均值，就像这里做的那样，再拿体积比例和h(t)h(t)比。

动手检验预测

拖动示踪泡泡，回看相变过程

  1. 先预测：在假真空比例图里，青色的切片数据点会在哪里穿过一半？再看默认演示。
  2. 拖动示踪泡泡上的金色手柄，退回到β(t−t∗)=−1\beta(t-t_*)=-1，粗略数一数切片里还有多大比例是紫色。
  3. 把β/H∗\beta/H_*从 50 改成 300。比例尺变短了：同一幅画面现在只占哈勃半径小得多的一部分。

来源与计算范围

  1. Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

    读的是 arXiv v2 的 LaTeX 源文件：摘要与引言、第 2.2.1 节（声波双折幂律、振幅、平均泡间距与红移因子）、第 3 节和附录 A（双参数 LISA 噪声与响应），以及第 5 节开头关于参数重建的部分。噪声公式把光学测量拐点印成 2e-3 mHz；我们的资料用 2 mHz，并同时给出两种结果。图 2 只读了图注。

  2. Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024

    只读了 LaTeX 源的两处：声波信号一节（signal.tex 约第 180 至 260 行），以及均方根流体速度和动能占比的定义（prelim.tex 第 171 至 182 行）。只用来对比早期的激波形成时间定义。

  3. Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

    我们的脚本、三个固定基准、四个失败案例和预期输出。它计算已发表的参数化模板、效率拟合和噪声模型；不求解爱因斯坦方程或流体方程，也不含浏览器引擎代码、论文原文或 LISA 数据。

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