独立复算一份基准声波谱

资料包里有什么

ZIP 里有四个文件。inputs/benchmarks.json 存着三组基准参数、四个故意越界的情形，以及我们自己袋模型求解器给出的七行表：每个泡壁速度下仍有爆燃解的最大强度。recompute_benchmark.py 只用 Python 标准库完成计算。expected.json 是我们用 Python 3.9.6 得到的输出。README.md 写明单位、约定和已知局限。

单位：$\beta/H_*$无量纲，泡壁速度以$c$为单位，温度用 GeV，频率用 Hz，能量密度都是无量纲的$h^2\Omega_{\rm GW}$。相对论性自由度固定为$g_*=100$，并假设它等于熵自由度。

输出是在固定输入下求值的参数化模板。资料包里没有任何部分在时间上求解爱因斯坦方程或流体方程。

对应阅读：Original benchmark tutorial materials (standard-library Python) · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

运行并比对

第一条命令写出你的结果。第二条把每个数和 expected.json 比较，全部在相对容差$10^{-9}$内一致时打印 MATCH。不一致时会列出每个不同字段的路径，告诉你环境或改动在哪一步改变了计算。

python3 recompute_benchmark.py inputs/benchmarks.json > my-output.json
python3 recompute_benchmark.py inputs/benchmarks.json --compare expected.json

对应阅读：Original benchmark tutorial materials (standard-library Python) · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

跟着一组参数走完每一步

打开 detonation-lisa-band 这一项：$\alpha=0.2$，$\beta/H_*=50$，$\xi_w=0.9$，$T_*=200\,\mathrm{GeV}$。脚本先判断类型：Jouguet 速度是$0.828$，所以这是爆轰。效率拟合给出$\kappa=0.2742$，于是$K=0.02742$。

接着是泡泡尺寸$H_*R_*=0.05273$、流速$\bar v_f=0.1434$和激波时间$H_*\tau_{\rm sh}=0.3676$，字段 lifetimeLimitedBy 写的是 shock formation。声壳厚度$\Delta_w=0.3585$和$H_{*,0}=3.30\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}$给出$f_1=0.1252\,\mathrm{mHz}$、$f_2=0.8729\,\mathrm{mHz}$。

然后是振幅：$h^2\Omega_{\rm int}=2.630\times10^{-11}$，$h^2\Omega_2=1.419\times10^{-11}$，数值求得的谱峰为$1.595\times10^{-11}$，位于$0.677\,\mathrm{mHz}$。峰落在两个拐点之间，因为中间那段仍按$f$上升。最后，A、E 两通道四年的信噪比是 634。

最常见的错误：在$R_*$里直接用泡壁速度，而不是$\max(\xi_w,c_s)$。爆轰时两者相同，错误只在慢爆燃算例里显出来：$H_*R_*$会从$0.0169$变成$0.0117$。

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Espinosa, Konstandin, No & Servant, Energy budget of cosmological first-order phase transitions, arXiv:1004.4187v1 / JCAP 1006:028 (2010)

不依赖模板本身的核对

每个结果都带一个 redshiftCheck。它从熵守恒、弗里德曼方程、微波背景温度$2.7255\,\mathrm{K}$和今天的熵自由度$3.909$重新算出$H_{*,0}$，再和模板常数比较。200 GeV 时得$3.2934\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}$，模板是$3.3\times10^{-5}$；稀释因子得$1.6404\times10^{-5}$，模板是$1.64\times10^{-5}$。

字段 expansionSuppressionUpsilon 给出 Guo 等人的因子$\Upsilon$。在我们的测试里，用四阶龙格–库塔法对辐射主导膨胀下的源权重$(a_s/a)^3$积分，重现了他们的解析式；这样检验，不必先相信印出来的公式。基准算例$\Upsilon=0.241$，按他们的规则，振幅比取最小值的规则低三分之一。

仓库里的测试还把效率拟合和我们自己的剖面解比较（离 Jouguet 速度不太近时，最大相对偏差 7.4%），并确认我们的噪声曲线和 Robson、Cornish、Liu 的独立灵敏度曲线在低频之比趋于$20/9$。

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Guo, Sinha, Vagie & White, Phase transitions in an expanding universe: stochastic gravitational waves in standard and non-standard histories, arXiv:2007.08537v3 / JCAP 01 (2021) 001

脚本拒绝的四种情形

failureCases 也是检验的一部分。$\alpha=0.2$、$\xi_w=0.7$的混合型泡壁被拒绝，因为声壳规则$|\xi_w-c_s|$只对亚声速爆燃和爆轰成立；泡壁速度正好等于声速的情形，理由相同。2020 年的 LISA 综述提醒过：接近 Chapman–Jouguet 速度时声壳很薄，谱形公式失效。

$\alpha=0.5$、$\xi_w=0.25$的强慢爆燃被拒绝，因为不存在爆燃剖面，我们算出那里的界是$\alpha=0.429$。$\beta/H_*=2.5$的相变被拒绝，因为泡泡会大到哈勃半径，平直时空里的模板不再适用。改过的脚本如果对其中任何一个给出了谱，说明改动删掉了一条物理检查。

对应阅读：Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024 · Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

数字背后该带着的误差

效率拟合标称误差小于 15%，经$K^2$进入振幅时还要再放大。振幅常数$A_{\rm sw}=0.11$是不同$\alpha$和$\xi_w$模拟的平均，我们读的那一节没有给出离散程度。对这个算例，三种已发表的激波时间定义相差可达 50%。

arXiv:2403.03723v2 里光学测量噪声的拐角频率印的是$2\times10^{-3}\,\mathrm{mHz}$。我们用 2 mHz，这是 Robson、Cornish 和 Liu 早先 LISA 噪声模型里的值。照字面取印出的数，基准算例信噪比会从 634 变成 716，差 13%。信噪比只考虑了仪器噪声；2024 年的论文认为，天体物理前景很可能显著削弱 LISA 的探测能力。

读下一篇模板论文时可以照着核对：写下单位和$g_*$；查清声壳规则覆盖哪些泡壁类型；自己重算红移常数；找到寿命规则和它对流速的定义；列出公式本该拒绝的情形。

对应阅读：Espinosa, Konstandin, No & Servant, Energy budget of cosmological first-order phase transitions, arXiv:1004.4187v1 / JCAP 1006:028 (2010) · Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020