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Sandbox Physics
宇宙相变引力波

从声波寿命算到今天的引力波谱

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声波引力波谱由四个数决定：动能占比KK、泡泡尺寸H∗R∗H_*R_*、泡壁速度和温度。取基准算例α=0.2\alpha=0.2、β/H∗=50\beta/H_*=50、ξw=0.9\xi_w=0.9、T∗=200 GeVT_*=200\,\mathrm{GeV}，声波在激波出现前持续0.3680.368个哈勃时间，今天的谱峰在0.677 mHz0.677\,\mathrm{mHz}附近，高度h2Ω=1.60×10−11h^2\Omega=1.60\times10^{-11}。

声波能响多久

振幅为vˉf\bar v_f的声波，大约在流体走过一个波长所需的时间之后变陡、形成激波。波长由泡泡尺寸决定，所以激波形成时间是τsh∼R∗/vˉf\tau_{\rm sh}\sim R_*/\bar v_f。此后流动变成激波和湍流，模板不再把它当作声波。

2024 年的模板取vˉf2=K/Γ\bar v_f^2=K/\Gamma，辐射的绝热指数Γ=4/3\Gamma=4/3；持续时间最多算一个哈勃时间，因为再往后膨胀会把源稀释掉。

算个例子。K=0.0274K=0.0274给出vˉf=0.0274×3/4=0.143\bar v_f=\sqrt{0.0274\times3/4}=0.143，配上H∗R∗=0.0527H_*R_*=0.0527，得H∗τsh=0.368H_*\tau_{\rm sh}=0.368：声波大约响了三分之一个哈勃时间就碎了。弱相变算例α=0.05\alpha=0.05、β/H∗=10\beta/H_*=10给出H∗τsh=7.1H_*\tau_{\rm sh}=7.1，这时上限 1 起作用。

H∗τsw=min⁡ ⁣[H∗R∗K/Γ, 1]H_*\tau_{\rm sw}=\min\!\left[\frac{H_*R_*}{\sqrt{K/\Gamma}},\,1\right]
Ellis、Lewicki 和 No（2020）指出，很多模型里第一项小于 1。Guo、Sinha、Vagie 和 White（2021）在辐射主导下推出一个平滑的压低因子Υ=1−1/1+2H∗τsh\Upsilon=1-1/\sqrt{1+2H_*\tau_{\rm sh}}，基准算例得0.2410.241，而不是0.3680.368。实验室两条都画，但用取最小值的规则，因为模板是按它标定的。

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Ellis, Lewicki & No, Gravitational waves from first-order cosmological phase transitions: lifetime of the sound wave source, arXiv:2003.07360v4 / JCAP 07 (2020) 050

谱形：双折幂律

低频端谱按f3f^3上升，两个拐点之间按f1f^1变化，第二个拐点以上按f−3f^{-3}下降；2024 年的论文从流体模拟里取这些指数。第一个拐点由泡泡尺寸决定，第二个由声壳厚度决定，两者都和1/R∗1/R_*成正比。

积分振幅Ωint\Omega_{\rm int}是谱对ln⁡f\ln f的积分。它随K2K^2增长，也随源的持续时间和泡泡尺寸增长。常数Asw=0.11A_{\rm sw}=0.11是不同α\alpha、ξw\xi_w模拟结果的平均。

我们独立检查了归一化。对基准算例的频率比f2/f1=6.97f_2/f_1=6.97，把谱形对ln⁡f\ln f做数值积分，得到第二拐点处振幅Ω2\Omega_2与Ωint\Omega_{\rm int}之比为0.5400.540，和文中公式的差别小于百万分之一。

h2Ωint=h2FGW,0 Asw K2 (H∗τsw)(H∗R∗),f1≃0.2 H∗,0H∗R∗,f2≃0.5 H∗,0Δw H∗R∗h^2\Omega_{\rm int}=h^2F_{\rm GW,0}\,A_{\rm sw}\,K^2\,(H_*\tau_{\rm sw})(H_*R_*),\qquad f_1\simeq\frac{0.2\,H_{*,0}}{H_*R_*},\qquad f_2\simeq\frac{0.5\,H_{*,0}}{\Delta_w\,H_*R_*}
其中Δw=ξshell/max⁡(ξw,cs)\Delta_w=\xi_{\rm shell}/\max(\xi_w,c_s)，基准算例Δw=(0.9−0.577)/0.9=0.358\Delta_w=(0.9-0.577)/0.9=0.358。常数FGW,0F_{\rm GW,0}和H∗,0H_{*,0}负责红移，下一节推导。
Ω2=1π(2+2f2/f11+f22/f12)Ωint\Omega_2=\frac{1}{\pi}\left(\sqrt2+\frac{2f_2/f_1}{1+f_2^2/f_1^2}\right)\Omega_{\rm int}
这是 arXiv:2403.03723v2 的 Om2_sound 式。文中给出ξw≈1\xi_w\approx1时约为0.550.55；ξw=0.9\xi_w=0.9时比值是 0.540。
三个固定基准今天的声波模板谱，与 LISA 噪声曲线对照
教程脚本算出的三个基准今天的模板谱 h2ΩGW(f)h^2\Omega_{\mathrm{GW}}(f)。灰线是写成能量密度的 LISA 噪声，光学测量拐点取 2 mHz2\,\mathrm{mHz}。这些是参数化模板的取值，不是模拟，也不是测量数据。 查看完整图像

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024

从基本原理红移到今天

产生时频率为f∗f_*的波，今天观测到的频率是f=f∗ a∗/a0f=f_*\,a_*/a_0。共动体积里的熵守恒，gsa3T3g_{s}a^3T^3不变，于是a∗/a0=(gs,0/gs,∗)1/3 T0/T∗a_*/a_0=(g_{s,0}/g_{s,*})^{1/3}\,T_0/T_*，其中gs,0=3.909g_{s,0}=3.909，微波背景温度T0=2.7255 KT_0=2.7255\,\mathrm{K}。辐射主导时的哈勃率由弗里德曼方程给出。

两者相乘得H∗,0H_{*,0}。用这些常数，我们自己算出100 GeV100\,\mathrm{GeV}、g∗=100g_*=100时为1.6467×10−5 Hz1.6467\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}，与文中的1.65×10−51.65\times10^{-5}相差 0.2%。辐射能量密度按a−4a^{-4}下降，临界密度按H2H^2下降，两者之比给出h2FGW,0=1.6404×10−5h^2F_{\rm GW,0}=1.6404\times10^{-5}，文中是1.64×10−51.64\times10^{-5}。

把基准算例拼起来：200 GeV 时H∗,0=3.30×10−5 HzH_{*,0}=3.30\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}，f1=0.125 mHzf_1=0.125\,\mathrm{mHz}，f2=0.873 mHzf_2=0.873\,\mathrm{mHz}，h2Ωint=2.63×10−11h^2\Omega_{\rm int}=2.63\times10^{-11}，谱峰高1.60×10−111.60\times10^{-11}，位于0.677 mHz0.677\,\mathrm{mHz}。

H∗=8π3g∗90 T∗2MPl,H∗,0=a∗a0H∗≃1.65×10−5 Hz(g∗100)1/6T∗100 GeVH_*=\sqrt{\frac{8\pi^3g_*}{90}}\,\frac{T_*^2}{M_{\rm Pl}},\qquad H_{*,0}=\frac{a_*}{a_0}H_*\simeq1.65\times10^{-5}\,\mathrm{Hz}\left(\frac{g_*}{100}\right)^{1/6}\frac{T_*}{100\,\mathrm{GeV}}
MPl=1.22×1019 GeVM_{\rm Pl}=1.22\times10^{19}\,\mathrm{GeV}是普朗克质量。和模板一样，假设gs,∗=g∗g_{s,*}=g_*。在g∗g_*固定时，温度只把谱沿频率方向平移，不改变h2Ωh^2\Omega。

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

LISA 听得见吗

把模板和换算成同样单位的 LISA 噪声比较。我们用 2024 年论文的两参数噪声模型：检验质量加速度噪声3×10−15 m s−2 Hz−1/23\times10^{-15}\,\mathrm{m\,s^{-2}\,Hz^{-1/2}}，光学测量噪声15×10−12 m Hz−1/215\times10^{-12}\,\mathrm{m\,Hz^{-1/2}}，用 A、E 两个通道，不含银河系内外的前景。

四年数据的信噪比是SNR=2T∫(Ω/ΩN)2df\mathrm{SNR}=\sqrt{2T\int(\Omega/\Omega_N)^2df}，因子 2 对应两个通道。基准算例得 634，慢泡壁算例 33.7，受哈勃时间限制的弱相变只有 0.20。

噪声曲线可以独立检验。Robson、Cornish 和 Liu 用全天平均响应，归一化也和我们不同，所以在低频，他们的灵敏度曲线应比我们的单通道曲线高，比值趋于20/920/9。我们的数值重现了这个极限，说明单位和低频加速度噪声项都写对了。

对应阅读：Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020 · Robson, Cornish & Liu, The construction and use of LISA sensitivity curves, arXiv:1803.01944v2 / Class. Quantum Grav. (2019), doi:10.1088/1361-6382/ab1101

练习与解释性答案

  1. 基准算例其余不变，把温度升到 1 TeV。f1f_1、f2f_2和谱峰高度怎样变？

    展开解释

    两个拐点都随H∗,0∝T∗H_{*,0}\propto T_*变化，升高 5 倍：f1=0.626 mHzf_1=0.626\,\mathrm{mHz}，f2=4.36 mHzf_2=4.36\,\mathrm{mHz}。g∗g_*不变时FGW,0F_{\rm GW,0}也不变，所以高度h2Ωh^2\Omega不变。

  2. 弱相变算例的H∗τsh=7.1H_*\tau_{\rm sh}=7.1。模板为什么用 1？不设上限的话振幅是多少？

    展开解释

    大约一个哈勃时间以后，膨胀已经把源稀释，声波不再以同样的速率相干地累积引力波能量。不设上限，振幅会大 7.1 倍。Guo 等人的平滑因子Υ=0.744\Upsilon=0.744给出介于两种估计之间的值。

  3. Ellis、Lewicki 和 No 用Uˉf2=34κα/(1+α)\bar U_f^2=\tfrac34\kappa\alpha/(1+\alpha)。用这个定义算基准算例的H∗τshH_*\tau_{\rm sh}，比一比。

    展开解释

    κα/(1+α)=0.0457\kappa\alpha/(1+\alpha)=0.0457，Uˉf=0.0343=0.185\bar U_f=\sqrt{0.0343}=0.185，H∗τsh=0.0527/0.185=0.285H_*\tau_{\rm sh}=0.0527/0.185=0.285；2024 年的定义给0.3680.368。差别来自KK里的 0.6。物理图像一致的两篇文章，在这里给出的源寿命仍差三成。

动手检验预测

比较两种声波寿命规则

  1. 先预测：在高级面板里把温度升到 1 TeV，谱峰往哪边移？再试一试。
  2. 选“声波撑过一个哈勃时间”，在寿命图里比较两种寿命规则。
  3. 选“强相变，声波很快破碎”，看声波寿命比 1 小多少。

来源与计算范围

  1. Caprini et al., Gravitational waves from first-order phase transitions in LISA: reconstruction pipeline and physics interpretation, arXiv:2403.03723v2 / JCAP 10 (2024) 020

    读的是 arXiv v2 的 LaTeX 源文件：摘要与引言、第 2.2.1 节（声波双折幂律、振幅、平均泡间距与红移因子）、第 3 节和附录 A（双参数 LISA 噪声与响应），以及第 5 节开头关于参数重建的部分。噪声公式把光学测量拐点印成 2e-3 mHz；我们的资料用 2 mHz，并同时给出两种结果。图 2 只读了图注。

  2. Caprini et al., Detecting gravitational waves from cosmological phase transitions with LISA: an update, arXiv:1910.13125v2 / JCAP (2020), doi:10.1088/1475-7516/2020/03/024

    只读了 LaTeX 源的两处：声波信号一节（signal.tex 约第 180 至 260 行），以及均方根流体速度和动能占比的定义（prelim.tex 第 171 至 182 行）。只用来对比早期的激波形成时间定义。

  3. Ellis, Lewicki & No, Gravitational waves from first-order cosmological phase transitions: lifetime of the sound wave source, arXiv:2003.07360v4 / JCAP 07 (2020) 050

    读了 LaTeX 源中关于激波形成时间、用效率表示的平均流体速度，以及“强相变时声波源远早于一个哈勃时间就关闭”的论证。

  4. Robson, Cornish & Liu, The construction and use of LISA sensitivity curves, arXiv:1803.01944v2 / Class. Quantum Grav. (2019), doi:10.1088/1361-6382/ab1101

    在 LaTeX 源中找到了光学测量噪声、检验质量噪声和灵敏度公式。只用来独立核对噪声曲线形状和 2 mHz 拐点，没有逐节通读。

  5. Original benchmark tutorial materials (standard-library Python)

    我们的脚本、三个固定基准、四个失败案例和预期输出。它计算已发表的参数化模板、效率拟合和噪声模型；不求解爱因斯坦方程或流体方程，也不含浏览器引擎代码、论文原文或 LISA 数据。

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