磁场支撑为什么要看方向

沿着场走，还是把场挤紧

把均匀磁场想成一束有方向的线。每个位置都有一个磁场矢量，线把这些方向连起来，方便想象。理想磁流体近似让磁通随气体运动，横向压缩会改变场强，弯曲也会带来恢复作用。

挤紧磁场后，向两侧推回的作用称为磁压。磁压差可以把磁场较强的区域推向较弱的区域；沿弯曲磁场的张力则试图把它拉直。两种作用合起来，才是磁场对气体的力。沿场压缩和横向压缩，触发它们的方式不同。

先选一段密度波，再旋转背景磁场，比较同一个波向上的响应。这里的角度始终指背景磁场与选定波向的夹角。整片云还可以允许其他方向的运动。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field · Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

把六个扰动量放在同一套坐标里

令波向量$\mathbf k=k\hat{\mathbf x}$，背景磁场位于$x,y$平面，与$x$轴夹角$\theta$。用国际单位制的磁场除以$\sqrt{\mu_0\rho_0}$，结果带速度单位；$\mu_0$是真空磁导率，$\rho_0$是背景体密度。归一化场强为Alfvén速度$v_A$。

背景分量为$B_x=v_A\cos\theta$和$B_y=v_A\sin\theta$。这里的$B_x,B_y$已经用速度单位表示；扰动$b_y,b_z$也作同样归一化。密度差$\delta$与三向速度$v_x,v_y,v_z$合起来，共有六个随时间变化的量。

磁场没有源头，扰动满足$\nabla\cdot\delta\mathbf B=0$。对沿$x$变化的一个非零波数，便有$b_x=0$。这并没有把恒定的背景$B_x$设成零。

用$e^{ikx}$记空间变化，最后取实部；$i^2=-1$。乘一个$i$相当于让正弦、余弦换一个相位。这种写法让六个变量都能存成复数幅度，同时保留同一幅空间图。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field · Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

磁力和感应一起决定运动

记$\omega_J^2=4\pi G\rho_0$。连续性仍把密度变化连到纵向流动；纵向动量里，压力和引力之外多了由横向磁场扰动带来的力。横向速度又会受背景纵向磁场牵动。

气体运动通过感应方程改变磁扰动，改变后的磁场再推气体。把两组方程一起积分，密度图、速度箭头和磁场方向便能对应同一个过程。

纵向磁项的负号也有直观来源。归一化后，磁压除以背景密度的一阶变化是$B_yb_y$；沿$x$取负梯度，就得到$-ikB_yb_y$。磁场较挤的一侧推力较强，因而倾向把这段横向磁场推散。背景纵向场另外连接横向张力，这正是其余分量方程保留的作用。

先用一个很小的纵向位移$\xi_x$准备初态。某段被压短时，连续性给$\delta=-\partial_x\xi_x$；同一位移挤紧横向磁通，给$b_y=-B_y\partial_x\xi_x$，因此初态满足$b_y=B_y\delta$。斜向演化随后还会激起横向速度，要继续用完整感应方程，不能永远把这一初始关系当作代数替代。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field

压缩模和横向Alfvén模要分别看

设每个变量随时间按$e^{-i\omega t}$变化，消去各分量，含密度压缩的频率满足下面的四次式。它把两个$\omega^2$分支放在一起；负的频率平方对应增长与衰减。

还有一对Alfvén模。它主要是横向速度和磁扰动来回交换，频率取决于磁场沿波向的分量。把这一对遗漏，六变量矩阵就会少两个本征值。

在$\theta=0$时，压缩分支恢复L1的$\omega^2=c_s^2k^2-\omega_J^2$。磁场再强，沿场这段压缩仍保留原Jeans门槛。对精确横向的$\theta=90^\circ$，非零压缩频率则含$c_s^2+v_A^2$，横向磁压参与恢复。

把场强逐渐降到零，也是一个可检查的极限。四次式分出$\omega^2=0$与普通Jeans分支，Alfvén频率也降为零。横向速度可以保持常数，密度压缩则回到没有磁场的L1方程。这个极限能检查代码有没有把场强额外加错一次。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field · Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

算一组强磁场下的不同方向

沿用$J=1.5$和整盒基波，取$v_A/c_s=4$。把四次式当作关于$\omega^2$的二次方程求根：沿场增长率为$0.745356/t_0$，夹角$45^\circ$时降为$0.537226/t_0$，到$89^\circ$时只有$0.0135481/t_0$。

最后一个数很小，但仍为正。接近横向时，一段有限时长的记录可能看起来几乎没有慢增长。精确$90^\circ$端点含中性分支和振荡分支；浮点计算留下的极小正数，需要结合数值尺度分类。

画面中的初态来自一个纵向位移：$b_y=B_y\delta$，速度起初为零，密度幅度取$0.02$。它通常是多个模的组合，因此不能把整条密度曲线都当成上面某一个纯指数。保存的六分量状态决定了实际叠加。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

保持线性，需要检查整个扰动

只看密度小不小还不够。密度可能暂时很小，速度或磁扰动却已积累起来。示例同时限制密度差、相对场扰动和归一化速度，达到指定小扰动上限前停止。

速度用$\sqrt{c_s^2+v_A^2}$作归一化尺度，相对扰动上限取$0.15$。这个速度尺度用于判断何时停止；传播和增长仍由六个方程计算。它没有替代带方向的磁力。

非磁气体片段解的是有限幅度的质量与动量方程；这一章解的是均匀背景上的线性磁扰动。两组方程分别适合有限幅度气体和小幅磁扰动，选择时先看自己要解释的运动。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

方向支撑与整片云的磁临界性

要问整片云能否被磁场托住，还得指定云的形状、磁通穿过哪张面、外界怎样固定磁场。文献中的质量磁通临界值带着这些几何条件。单个周期密度波没有提供一个通用的整云临界质量。

在这里的均匀模型里，只要允许选择沿场的波向，就仍能找到原本Jeans不稳定的压缩方向。后面的论文导读再看三维湍流计算：它既有不同方向的流，也有另一套质量与分辨率问题。

对应阅读：Guszejnov et al. 2020, Can magnetized turbulence set the mass scale of stars? arXiv:2002.01421v1 · Federrath & Klessen 2012, arXiv:1209.2856v1