网格何时已经分不清塌缩

一个格子保存的是平均气体

把周期正方形分成小单元，每格保存平均体密度$\rho$和两个动量密度$m_x=\rho v_x$、$m_y=\rho v_y$。它们代表一个小面积里的积分再除以面积，第三方向每单位深度相同。中央格点的函数值和这一平均值，通常不是同一个数。

有限体积方法让相邻格子共用同一条边上的流量。一个格子流出的质量，正好流入隔壁。把所有格子相加，内部边上的通量一正一负相消；周期边界的两端也成对相消。引力只改变动量，没有直接增加质量。

以$\Delta x$表示格宽、$\Delta t$表示时间步，$F$和$H$分别是沿两个方向的质量通量。下式就是对一个单元写出的质量收支。恢复高阶精度和计算边界通量会影响局部误差，但不能破坏两边共用一条通量的结构。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

周期引力只响应密度起伏

周期函数的Laplacian积分为零，因此Poisson方程右边也必须平均为零。用$\rho-\langle\rho\rangle$作源项，非零波数的势可直接在Fourier空间求出。零波数的势选为零，只确定势的任意常量；平均密度对应的整体引力在这个模型里已经被去掉。

这套方程是三维气体在第三方向不变的情形，不是把一张无限薄的自引力片贴在屏幕上。两者的引力核不同。这个周期盒子也没有孤立球从外边界整体落向中心的运动。

加速度由同一个密度场求出，再进入每一步的动量更新。密度图、速度与引力诊断都跟着这份状态变化；数值方法若产生非正密度或非有限值，计算会报失败，不用补密度的办法继续走。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction · Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field

缩短时间步和加密网格回答不同问题

先固定病例$J=1.5$、初始幅度$0.2$，从静止演化到$t=2.5$。用$32^2$、$64^2$、$128^2$单元，峰值密度依次约为$2.13109$、$2.15214$、$2.15606$。比较完整状态时，先把细网格相邻子单元平均到同一个粗格子里。

相邻网格的三分量状态RMS差从$0.001118$减到$0.000191$。RMS是平方差平均后开根，能概括全场差异；峰值则只看最密的一格。两者都值得看，因为位置稍偏的尖峰会让局部差别很大。

再保持同一张网格，只把时间步减半，检查时间离散。时间步更小不会增加空间信息；一团只占一两个单元的结构，再多算时间步也分不细。

还有一个实际反例：最初的线性增长测试里，以初始幅度归一的最大误差，在32格约$0.000827$，在64格却约$0.000950$。粗误差恰好抵消，单看这两个数会得出错误趋势。保留原始失败后，64、128、256格的同一测试才显示稳定下降。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

独立方法也要检查自己的空间误差

第二种方法用Fourier波叠加气体场，在网格上计算非线性通量，再投回保留的波。它没有有限体积的重建和边界通量，能提供不同算法之间的比较。结果先经过精确的单元平均窗，再与有限体积结果比较；最初点值与平均值混比的结果也保留着。

这种伪谱方法仍有自己的误差。动量通量含$m^2/\rho$，即使输入只含有限个波，除法也能产生更短的谐波。粗采样会把短波误认成长波，这叫混叠。输出只留下原来的三分之二频带，并不能保证这个非多项式通量无混叠。

修正后的参照先把场插到两倍、四倍求积网格上，计算通量再投影；还增加保留空间模，并单独减半时间步。原有十个支持病例和固定长时病例共十一例，都实际走完了这三种比较。

最大两倍/四倍求积密度RMS差为$8.22\times10^{-16}$，增加保留模的最大密度RMS差为$6.64\times10^{-13}$，半时间步完整状态最大差另为$4.78\times10^{-11}$。这些是病例之间实际比较出的差，不是整个连续参数域的误差定理。

平滑正密度$1+0.999\cos(2\pi x)$配常动量，是另一个代数负例。只用64点并截断输出，其保留通量导数系数误差约$526.9$；增加到16倍求积后约$4.69\times10^{-10}$。这个近零密度例子在操作域外，专门用来暴露“加个mask就足够”的假设。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

Jeans格数是停止提示，不是精度证书

等温时，局部Jeans长度与$\rho^{-1/2}$成正比。若每边有$N$格，平均密度为一，最密处的局部Jeans格数是$N_J=N/(J\sqrt{\rho_{\max}})$。本例在候选状态将低于八格前停止，留下最后一个接受的场。

64格、$J=1.5$的长时分辨率停止测试，在$t=3.89153$留下峰值$28.3318$和$N_J=8.01589$。下一候选时刻$3.90138$只有$7.84308$格，于是被拒绝。另一个16格、$J=2.5$的欠分辨率初态，在第一步前就停止。

前一个晚期场仍有八格，却没有通过同一晚期的空间收敛比较。它的平滑等温能量诊断变化，已经达到初始各能量绝对值之和的约$40.6\%$。诊断把动能、等温压缩项和引力能相加，用来检查数值演化，没有计算辐射冷却能量。这个场适合解释停止机制，不能给出精确的恒星碎片质量。

实际可用窗口因此取决于已经完成的比较。连续控制范围只检验到时间二；固定病例另有时间二点五的证据。继续往后播放，并不会自动把早期证据带过去。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction · Guszejnov et al. 2020, Can magnetized turbulence set the mass scale of stars? arXiv:2002.01421v1

保留可以重做的比较

保存一张密度图之外，还要保存初值、实际时刻、网格、算法与完整数值状态。别人才能把相同的物理条件交给另一张网格或另一种方法。亮团的位置和质量收支也能随之检查。

这套复算保留了回弹、增长、粗误差抵消、错误表示比较和停止测试。每个失败都指出下一次应检查的东西：初速、空间表示、通量求积，或已经不足的分辨率。随着问题加深，证据也能沿同一条计算链继续补上。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction