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Sandbox Physics
分子云的引力与磁支撑

分子云 · L1

Jeans尺度怎样分开振荡与增长

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一段密度波会回弹还是增长，可以由声速、平均密度和波长算出。压力对短波的恢复作用更强；自身引力则把密度差放大。把两者放进同一个运动方程，临界的Jeans长度便出现了。

先指定背景、方向和小量

取均匀背景密度ρ0\rho_0，沿xx方向放一段密度波，正速度uu指向xx增大处。用相对密度差δ=(ρ−ρ0)/ρ0\delta=(\rho-\rho_0)/\rho_0描述压缩；它没有单位，绝对值远小于一。声速csc_s带速度单位。

气体等温，压力为p=cs2ρp=c_s^2\rho。这表示温度由外部保持，压缩时没有另求一条温度演化方程。引力势ϕ\phi带速度平方单位，气体受到的引力加速度是势沿空间变化的负导数。

这里声速的平方，是恒温条件下压力对密度的导数。官方算例章节还会遇到绝热导数；先说清压缩怎样处理温度，才能给同一个“声速”选择恰当的数值。

均匀、静止的无限自引力背景，需要说明怎样处理平均引力。这里用周期盒子研究起伏，Poisson方程只保留密度与平均值之差，均匀部分不产生力。它给出局部扰动的Jeans问题，没有把整片背景当作一颗孤立球。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field · Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

把流入、推回和引力连起来

连续性方程先说物质去了哪里：某处流出的气体比流入多，密度就下降。对小扰动，只保留一阶小量；密度差乘速度等二阶项暂时略去。动量方程则把压力和引力的加速度加在一起。

导数可以先当作很短一段时间或距离里的变化率。∂xu>0\partial_xu>0表示右侧气体比左侧走得更快，一小段气体被拉开；连续性右边的负号便让δ\delta下降。若两边向中间会合，速度的空间导数为负，密度就上升。

对连续性方程再取一次时间导数，把速度的时间导数换成动量方程，再用Poisson方程消去ϕ\phi。得到的是密度差的二阶时间方程：压力通过空间弯曲决定恢复，引力给出与密度差同号的增长项。

逐步看符号：∂t2δ=−∂x(∂tu)\partial_t^2\delta=-\partial_x(\partial_tu)，代入速度方程后，两项都带着两个负号，变成cs2∂x2δ+∂x2ϕc_s^2\partial_x^2\delta+\partial_x^2\phi。最后用Poisson方程把势的曲率换成密度差。引力之所以加强密处，正体现在这最后一项的正号里。

二阶时间导数描述变化趋势怎样加速。这里密度本身不是一颗沿轨道运动的粒子，但它的起伏幅度同样能满足一个振子方程。

∂tδ=−∂xu,∂tu=−cs2∂xδ−∂xϕ\partial_t\delta=-\partial_xu,\qquad \partial_tu=-c_s^2\partial_x\delta-\partial_x\phi
线性连续性与动量方程。所有扰动都小，背景密度和声速保持常数。
∂x2ϕ=4πGρ0δ,∂t2δ=cs2∂x2δ+4πGρ0δ\partial_x^2\phi=4\pi G\rho_0\delta,\qquad \partial_t^2\delta=c_s^2\partial_x^2\delta+4\pi G\rho_0\delta
GG是万有引力常数；4πGρ04\pi G\rho_0的单位是秒的负二次方，因此能够与声速平方乘空间二阶导数相加。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field · Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

一段余弦波给出临界波长

写成δ(x,t)=D(t)cos⁡(kx)\delta(x,t)=D(t)\cos(kx)，把位置和时间分开。DD是无量纲幅度，k=2π/λk=2\pi/\lambda是角波数，λ\lambda是波长。余弦取两次空间导数，会多出−k2-k^2；越短的波，压力恢复项越大。

若ω2\omega^2为正，幅度像普通振子一样摆动，ω\omega是角频率。若它为负，定义增长率γ=−ω2\gamma=\sqrt{-\omega^2}，解里便有增长和衰减的指数项。两种行为在ω2=0\omega^2=0处分开。

靠近临界点，增长和振荡的速率都趋近零。判断有限时间的画面时，几乎没变化也可能只是靠近门槛；先算条件，再判断它是否稳定。

D¨+ω2D=0,ω2=cs2k2−4πGρ0\ddot D+\omega^2D=0,\qquad \omega^2=c_s^2k^2-4\pi G\rho_0
这条色散关系把每个波长与它的振荡频率或增长率对应起来。
λJ=csπGρ0\lambda_J=c_s\sqrt{\frac{\pi}{G\rho_0}}
λ>λJ\lambda>\lambda_J的小扰动可增长；λ<λJ\lambda<\lambda_J的小扰动振荡。声速加倍时，临界长度也加倍；密度增为四倍时，临界长度减半。

对应阅读：Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field

从静止开始，幅度先走双曲余弦

用盒长LL作为长度单位，取t0=(4πGρ0)−1/2t_0=(4\pi G\rho_0)^{-1/2}作为时间单位，令J=L/λJJ=L/\lambda_J。对一个整盒长的基波，ω2t02=J−2−1\omega^2t_0^2=J^{-2}-1。当J=1.5J=1.5，增长率为γt0=0.745356\gamma t_0=0.745356。

给定初始幅度D0=10−4D_0=10^{-4}。如果初始速度恰好朝增长模流入，幅度按D0eγtD_0e^{\gamma t}增长，在t=2t0t=2t_0时约为4.4403×10−44.4403\times10^{-4}。速度不是额外可忽略的细节，它选中了增长和衰减解的哪种组合。

若气体起初静止，D˙(0)=0\dot D(0)=0，增长项和衰减项起初各占一半。此时同一时刻幅度只有2.3327×10−42.3327\times10^{-4}。双曲余弦就是两个相反指数的平均，起初斜率为零，后来才由增长项主导。

程序里的小幅增长测试特意准备增长模速度；有限幅度气体片段则从静止开始。拿两者的早期斜率直接相比，会把初始条件差异误当成数值误差。

Drest(t)=D0cosh⁡(γt)=D02(eγt+e−γt)D_{\rm rest}(t)=D_0\cosh(\gamma t)=\frac{D_0}{2}(e^{\gamma t}+e^{-\gamma t})
初始静止的线性解。纯增长模则要求初始幅度变化率等于增长率乘初始幅度。
u(x,0)=−γD0ksin⁡(kx)u(x,0)=-\frac{\gamma D_0}{k}\sin(kx)
纯增长初速由连续性决定，方向指向密度峰。速度起初为零时，幅度取双曲余弦解。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

把长度换成质量时，要先说几何

常见的三维Jeans质量，把半径取为λJ/2\lambda_J/2，在平均密度下算一颗球的质量。半径取法必须写出，否则只说“一个Jeans质量”会藏进一个几何系数。

取一个说明单位的例子：总热粒子数密度为每立方厘米一千，平均粒子质量取氢原子质量的2.332.33倍，盒长1 pc1\,\mathrm{pc}，并指定J=1.5J=1.5。它对应声速约187 m s−1187\,\mathrm{m\,s^{-1}}、温度约9.90 K9.90\,\mathrm K、t0=0.554 Myrt_0=0.554\,\mathrm{Myr}和λJ=0.667 pc\lambda_J=0.667\,\mathrm{pc}。这里的数密度不是专指氢分子数。

按上述球形定义，质量约8.94M⊙8.94M_\odot。二维画面的第三方向保持不变，实际积分的是每单位深度的质量，不能把这个球形数字贴到中央亮团上。球形自由落体时间也属于另一套几何定义。

再作一个不用新常数的例题：平均密度不变，只把声速加倍，临界长度增为两倍，球的体积增为八倍，Jeans质量也增为八倍。若改成声速不变、背景密度增为四倍，临界长度减半，球体积变为八分之一，但每单位体积质量多四倍，最终参考质量减半。

这两个比例帮助你区分“临界长度”与“临界质量”。临界参考质量变小，表示更少的一块物质就可能发生引力增长；某次具体演化的总质量，仍要按它自己的区域与边界积分。

MJ=4π3ρ0(λJ2)3=π5/2cs36G3/2ρ01/2M_J=\frac{4\pi}{3}\rho_0\left(\frac{\lambda_J}{2}\right)^3=\frac{\pi^{5/2}c_s^3}{6G^{3/2}\rho_0^{1/2}}
这一定义说的是背景密度下、直径等于Jeans长度的三维球。
Mpatchℓz=∫ρ dx dy\frac{M_{\rm patch}}{\ell_z}=\int\rho\,dx\,dy
第三方向不变的计算给出每单位zz深度质量；ℓz\ell_z是一段另行指定的深度。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction · Guszejnov et al. 2020, Can magnetized turbulence set the mass scale of stars? arXiv:2002.01421v1

小扰动增长以后，继续检验近似

上面的推导忽略了二阶小量。当密度差不再很小时，流速与密度会彼此影响，纯余弦也会长出其他空间结构。线性色散关系仍能检查早期增长，后面需要实际求解质量和动量方程。

网格也有自己的长度。等温压缩让局部密度升高，局部Jeans长度随之缩短；同一张网格能分开的单元数越来越少。L3会让同一个病例在更细网格与独立算法上重算，判断变化来自气体还是离散方法。

对应阅读：Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

练习与解释性答案

  1. 对基波取J=0.75J=0.75，判断它振荡还是增长，并算ωt0\omega t_0。

    展开解释

    代入得ω2t02=0.75−2−1=0.777778\omega^2t_0^2=0.75^{-2}-1=0.777778，为正，因此振荡，ωt0=0.881917\omega t_0=0.881917。这里的角频率与每秒循环数相差2π2\pi；如果要周期，还需算2π/ω2\pi/\omega。

  2. 一个不稳定波从静止开始，能否立刻用ln⁡D\ln D的斜率读出γ\gamma？

    展开解释

    早期不能。静止初值给出D=D0cosh⁡(γt)D=D_0\cosh(\gamma t)，其对数斜率为γtanh⁡(γt)\gamma\tanh(\gamma t)，在起点为零。要用恒定对数斜率，应准备纯增长初速，或等增长项已经主导且仍处在线性范围。

  3. 同样密度和声速下，二维片段的中央亮团能直接标成上一节的球形Jeans质量吗？

    展开解释

    不能直接赋这个质量。球形定义用了一个指定半径的三维体积；第三方向不变的片段保存每单位深度质量。需要给出几何与积分区域，才能把体密度换成总质量。

动手检验预测

看压力与引力怎样改变同一团气体

  1. 把初始幅度调小，比较Jeans比小于一与大于一的基波；先用色散关系预测，再看密度时间史。
  2. 在独立科学包中比较小幅纯增长测试与静止的气体片段。用例题解释两种早期曲线形状。
  3. 保持相同初值，比较保存的64与128单元结果；记录你比较的是密度幅度、完整场还是一个球形参考质量。

来源与计算范围

  1. Chandrasekhar & Fermi 1953, Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field

    第V节，第138至141页，式158至173。原文采用绝热声速导数和高斯磁单位；章节另行说明等温导数与国际单位归一化。链接原文，不重发受限许可论文。

  2. Guszejnov et al. 2020, Can magnetized turbulence set the mass scale of stars? arXiv:2002.01421v1

    固定v1，第2至4节、图8至10、式8至11/17/22至23。分别阅读质量加权百分位与按颗数分布。图8模型名配对和近似量纲例子按上下文保留，没有自行替作者勘误。

  3. Molecular-cloud Jeans standalone scientific reproduction

    独立有限体积与过采样伪谱计算、Jeans解析参照和完整线性磁流体参照，含十个支持病例、固定长时病例、官方小输入及原始失败。安装普通Python依赖后，默认重放会离线实际重算科学步骤。

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