红移分布有两座峰，就保留两种答案

把五次测量写在线性流量里

用 $f_b$ 表示第 b 波段测得的平均频率流量密度，单位为纳摩吉，标准差为 $\sigma_b$ 。固定红移、年龄与尘埃后，将五个预测波段均值都除以预测 r 波段均值，得到 r 分量为一的形状 $s_b$ 。正振幅 A 随后有明确含义：模型在观测 r 波段的平均流量，单位仍为纳摩吉。

假设这些线性流量的高斯误差互相独立。测量为负也保留，因为正的真实预测周围可以出现负的带噪估计。真实巡天的定标误差可能跨波段相关，独立性在这里是一项教学近似。

\chi^2(A,z,t,E)=\sum_{b\in\mathrm{used}}\frac{(f_b-A s_b(z,t,E))^2}{\sigma_b^2},\qquad p(\boldsymbol f\mid A,z,t,E)\propto e^{-\chi^2/2}

误差固定，省略的高斯归一化对各组参数相同。若方差随模型改变，归一化也必须保留。

自由振幅让总恒星质量与距离不再决定颜色。若对振幅套用不能归一的均匀先验，积分会留下任意尺度，尤其在模板归一化不同时。这里先定义观测 r 波段的归一化，再采用尺度固定为一万纳摩吉的半正态振幅先验。

它只允许正亮度，积分为一，尺度比默认的一百纳摩吉信号宽很多。它仍是一项模型选择：暗弱、难以确定的源会更依赖先验。若用光谱红移来调尺度，再用同一批光谱红移报告独立验证，就混用了答案。

p(A)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\tau}\exp\!\left(-\frac{A^2}{2\tau^2}\right),\quad A\geq0,\quad \tau=10^4\,\mathrm{nMgy}

这是带有流量倒数单位的概率密度。改变振幅单位或重新归一模板时，先验也要跟着变换。

对应阅读：Hogg et al. · Brammer

先展开残差平方。振幅的二次项与先验精度相加，一次项是数据和模型形状的加权重叠。把它配成一个平移高斯，就能求出振幅大于零这一侧的面积。

这个积分与选出残差最小的振幅不同。多出来的宽度因子，体现一片参数区域能在多宽的振幅范围内解释数据；高斯累积分布处理正振幅边界。比较不同颜色或低信噪比测量时，两项都会影响权重。

S=\sum_b\frac{s_b^2}{\sigma_b^2}+\tau^{-2},\quad B=\sum_b\frac{f_bs_b}{\sigma_b^2},\quad C=\sum_b\frac{f_b^2}{\sigma_b^2}

只对实际使用的波段求和。S 是加入先验后的振幅精度，B 是加权重叠，C 是数据平方项。

I(z,t,E)=\frac{2\Phi(B/\sqrt S)}{\tau\sqrt S}\exp\!\left[-\frac12\left(C-\frac{B^2}{S}\right)\right]

除去固定的测量归一化，I 就是振幅边缘化后的似然。Phi 为标准正态累积分布。程序在对数域求值，并与独立数值积分比较。

对应阅读：Brammer · Hogg et al.

即使最终只关心红移，预测数据仍然需要年龄和尘埃，这类量叫干扰参数。对六档尘埃和每个红移处允许的年龄节点，分别赋予相同离散先验权重。超过宇宙年龄的恒星族排除后，在该红移处重新归一年龄权重，便定义了条件年龄先验。

红移先验在零至一点二之间取均匀密度。每隔零点零零五计算一个红移，按先验权重把所有年龄、尘埃解释加起来，再用梯形积分归一面积。细小峰与台阶可能来自有限模板网格。这是有限离散先验；若改变年龄节点数量或间隔，却保留相同权重，就改变了模型。

每个红移只保留最小残差，得到的叫剖面似然，它描述“这里最好能拟合到什么程度”。这里画出的则是在已声明先验下的后验，包含所有允许的干扰参数状态与振幅解析积分。

p(z\mid\boldsymbol f)=\frac{p(z)\sum_{t,E}p(t,E\mid z)I(z,t,E)}{\int_0^{1.2}p(z')\sum_{t,E}p(t,E\mid z')I(z',t,E)\,dz'}

分母归一概率，没有再调整最优拟合。数值积分在两个端点各用半权重，分开的峰都保留下来。

源的红移为零点三二五，年龄二十一点五四亿年，连续谱色余零点一，真实 r 波段均值一百纳摩吉。固定高斯抽样得到下表流量；标准差由指定相对误差与零点五纳摩吉下限合成。回到同一组参数时，沿用同一组抽样。

最高峰在零点三二零，中央百分之六十八区间约为零点二六八至零点四二七。次峰在零点四二五附近，相邻局部低谷围出的盆地约占总概率百分之三十六点七。峰高与积分概率不同，较宽但较低的一座山，也可能容纳更多概率。

从拟合里去掉 u，最高峰移到零点五四五，中央区间扩大到约零点二六三至零点五四七。生成观测的真实红移没有改变，更多歧义来自少看了一个波段。白色模板标记是最高峰处的条件拟合，也不同于后验平均光谱。