红移拉长光谱，尘埃改变光谱形状

光度距离只用一次

用 $L_\lambda(\lambda_e)$ 表示星系每秒、每埃向所有方向发出的能量。下标 e 代表星系静止系。光度距离 $D_L$ 的定义，是让接收总流量等于总光度除以 $4\pi D_L^2$ 。宇宙红移带来的光子能量下降与到达变慢，都已经算在其中。

一小段发射波长，到达时也和中心波长一起拉长。总能量仍然按光度距离换算。再将这一小段光度分到更宽的观测波长间隔，就得到下面的波长密度式。频率间隔恰好相反，会缩窄，因此频率密度式带相反方向的红移因子。

f_\lambda(\lambda_o)=\frac{L_\lambda(\lambda_o/(1+z))}{4\pi D_L^2(1+z)}

观测波长间隔变宽；对整个观测间隔积分后，应恢复总光度与光度距离的关系。

f_\nu(\nu_o)=\frac{(1+z)L_\nu((1+z)\nu_o)}{4\pi D_L^2}

观测频率间隔缩窄。只要光速单位一致，把此式转回波长密度，就会得到上一式。

绝对星等描述把天体放在十秒差距处、用指定静止系滤镜测得的亮度。视星等采用观测滤镜。距离模数负责几何变暗，K 改正负责两片滤镜实际上看到了哪一段光谱。它的正负由光谱与滤镜组合共同决定。

取一个简单极限：两边采用同一个 AB 滤镜，源在所有相关频率上的光度密度平坦。按刚推导的频率式，在相同光度距离处，观测频率密度比未移位光谱多出一个拉伸因子。转成星等对数，K 改正便为负。这是检查程序符号很有效的例子。

m_R=M_Q+5\log_{10}\!\left(\frac{D_L}{10\,\mathrm{pc}}\right)+K_{QR}(z)

Q 指静止系滤镜，R 指观测滤镜，两者可以不同。完整红移光谱并积分之后，不应再额外乘一次 K 改正。

K_{RR}^{\mathrm{flat}\ f_\nu}(z)=-2.5\log_{10}(1+z)

零红移时改正为零，红移为一时约为负零点七五三星等。若把频率密度的红移因子写成倒数，便会得到错误符号。

这里选用 Calzetti 恒星连续谱衰减曲线。它来自星暴星系的经验研究，同时包含吸收、散射与恒星和尘埃如何分布的影响。它与单个尘埃颗粒的普遍性质、银河系前景消光曲线都不同。

用 $E_s(B-V)$ 表示恒星连续谱色余。按每一个静止波长，把源光谱乘以下面的衰减因子。发表曲线适用于零点一二至二点二微米，本课程的滤镜和红移范围落在其中。其 $R_V=4.05$ ；恒星连续谱色余也不同于从气体发射线测出的色余。

银河系前景尘埃处在另一套参考系：星系光到达我们附近后，才穿过这一层。SDSS 教程按星表提供的各波段前景消光改正观测流量，同时放大统计误差，再拟合星系内部的连续谱衰减。

L_{\nu,\mathrm{attenuated}}(\lambda_e)=L_{\nu,*}(\lambda_e)\,10^{-0.4 E_s(B-V)\,k(\lambda_e)}

该因子改变同一波长处的能量，对波长流量密度同样适用。连续谱色余为零点二时，五千五百埃处衰减约零点八一零星等，一千六百埃处约一点九九星等。

固定源文件采用 BC03 单一恒星族：恒星集中在一次短暂事件里形成，金属丰度固定为太阳值，初始质量函数固定为 Salpeter 形式。课程抽取一亿年至一百亿年的七档年龄，按照固定 EzGal 程序，对年龄与频率流量密度做线性插值。每条静止光谱再除以五千五百埃处的流量，只保留形状。

增大这种年龄，会改变还活着的恒星组合与吸收光谱。这与随手调一个断裂强度不同。真实星系可以混合许多年龄、改变金属丰度，还含有星云发射。五种颜色可能偏向其中一档模型年龄，却没有唯一确定星系的形成史。

试探红移处的恒星还不能比宇宙更老。教学宇宙空间平直，现在的膨胀率取每秒每百万秒差距七十千米，物质占比零点三，忽略辐射。红移零点八五处，宇宙约六十四亿年，一百亿年恒星族便不能使用。下一章会把这一限制写进其他参数的先验权重。

选二十一点五四亿年模板，连续谱色余零点一，红移零点三二五，再把观测 r 波段平均流量归一到一百纳摩吉。最后一步吸收了总恒星质量与光度距离；此时比较的是颜色。原来约四千埃的特征来到五千三百埃。把红移提高到零点八五，它便来到七千四百埃。

现在固定红移零点三二五，增加尘埃。特征仍在相同观测波长，蓝光先被更强地衰减，再恢复共同的 r 波段归一化。最后固定红移和尘埃，只改年龄。恒星本身的斜率与吸收结构一起改变。几个宽带比值即使接近，背后的光谱操作仍然不同。